10.3 La derni` ere note (introduction `
a l’analyse de Fourier)
313
pas les seules caract´ eristiques du son que l’oreille utilise ; un autre ´ el´ ement crucial est,
par exemple, l’attaque, c’est-` a-dire les premi` eres fractions de seconde pendant lesquelles
le son est produit.
La pr´ esence des fr´ equences harmoniques qu’explique la physique rend bien compte
de la figure 10.7. En effet, `
a partir de 300 Hz (qui est proche des 293,7 Hz d’un des r´ e du
piano), on trouve dans la figure un pic proche de tous les multiples entiers de 293,7 Hz
jusqu’` a 9×293,7 = 2643 Hz, fr´ equence tr` es proche de 2684 Hz. Les pics suivants marqu´ es
sur la figure s’´ ecartent un peu des multiples entiers. On observe le mˆ eme ph´ enom` ene
` a la figure 10.8 donnant les basses fr´ equences. Le premier pic se situe ` a 144 Hz, tr` es
pr` es du r´ e vibrant `
a 146,8 Hz (le r´ e le plus grave demand´ e par la partition), et certains
des premiers multiples entiers de cette fr´ equence sont ´ egalement visibles. La figure 10.8
indique enfin un mode proche du la ` a 220,2 Hz ; cette fr´ equence est trois fois la fr´ equence
du r´ e ` a 73,4. Mais ce r´ e n’est pas jou´ e par l’orchestre ; ce la n’est donc pas ais´ ement
expliqu´ e.
L’analyse de Fourier fait plus qu’extraire l’intensit´ e de certaines fr´ equences dans une
fonction f . En fait, le th´ eor` eme suivant, dˆ u `
a Dirichlet, dit que les nombres c k et s k
d´ ecrivent compl` etement la fonction f si celle-ci est suffisamment r´ eguli` ere.
Th´ eor` eme 10.3 (Dirichlet) Soit f : R → R une fonction p´ eriodique de p´ eriode 1
(c’est-` a-dire telle que f (x + 1) = f (x)) et une fois continˆ ument diff´ erentiable. Soient c k
et s k les coefficients donn´ es par les ´ equations (10.1–10.2). Alors,
f (x) =
c 0
2
+
∞
k=1
(c k cos 2πkx + s k sin 2πkx)
∀x ∈ R;
(10.7)
plus pr´ ecis´ ement, la s´ erie du membre de droite converge uniform´ ement vers f .
Est-ce que ceci veut dire que les nombres C k et S k que nous avons calcul´ es peuvent
ˆ etre utilis´ es pour reconstruire l’onde sonore ? Oui, et pour nous en convaincre, nous
avons superpos´ e, `
a la figure 10.9, le premier centi` eme de seconde (figure 10.2) et sa
reconstruction
C 0
2
+
800
k=1
(C k cos 2πkt + S k sin 2πkt) .
Notons que nous avons limit´ e la somme aux valeurs de k de 1 ` a 800 plutˆ ot que de
1 ` a ∞ comme le demande le th´ eor` eme de Dirichlet. Bien que le nombre de termes
conserv´ es soit fini, l’accord g´ en´ eral est tr` es bon, mais toutes les oscillations rapides ont
´ et´ e aplanies. Ceci n’est pas surprenant ; il faudrait ajouter plusieurs termes `
a la somme
ci-dessus pour reproduire ces oscillations de grandes fr´ equences. Rappelons de plus que
les coefficients C k et S k utilis´ es dans la somme ne sont que des approximations obtenues
par discr´ etisation des int´ egrales d´ efinissant les c k et s k . Existe-t-il une forme discr` ete
Le spectre d’un instrument, c’est-` a-dire l’ensemble et l’amplitude des fr´ equences qu’il ´ emet, est
un des outils aussi utilis´ es par les synth´ etiseurs de sons.
a l’analyse de Fourier)
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pas les seules caract´ eristiques du son que l’oreille utilise ; un autre ´ el´ ement crucial est,
par exemple, l’attaque, c’est-` a-dire les premi` eres fractions de seconde pendant lesquelles
le son est produit.
La pr´ esence des fr´ equences harmoniques qu’explique la physique rend bien compte
de la figure 10.7. En effet, `
a partir de 300 Hz (qui est proche des 293,7 Hz d’un des r´ e du
piano), on trouve dans la figure un pic proche de tous les multiples entiers de 293,7 Hz
jusqu’` a 9×293,7 = 2643 Hz, fr´ equence tr` es proche de 2684 Hz. Les pics suivants marqu´ es
sur la figure s’´ ecartent un peu des multiples entiers. On observe le mˆ eme ph´ enom` ene
` a la figure 10.8 donnant les basses fr´ equences. Le premier pic se situe ` a 144 Hz, tr` es
pr` es du r´ e vibrant `
a 146,8 Hz (le r´ e le plus grave demand´ e par la partition), et certains
des premiers multiples entiers de cette fr´ equence sont ´ egalement visibles. La figure 10.8
indique enfin un mode proche du la ` a 220,2 Hz ; cette fr´ equence est trois fois la fr´ equence
du r´ e ` a 73,4. Mais ce r´ e n’est pas jou´ e par l’orchestre ; ce la n’est donc pas ais´ ement
expliqu´ e.
L’analyse de Fourier fait plus qu’extraire l’intensit´ e de certaines fr´ equences dans une
fonction f . En fait, le th´ eor` eme suivant, dˆ u `
a Dirichlet, dit que les nombres c k et s k
d´ ecrivent compl` etement la fonction f si celle-ci est suffisamment r´ eguli` ere.
Th´ eor` eme 10.3 (Dirichlet) Soit f : R → R une fonction p´ eriodique de p´ eriode 1
(c’est-` a-dire telle que f (x + 1) = f (x)) et une fois continˆ ument diff´ erentiable. Soient c k
et s k les coefficients donn´ es par les ´ equations (10.1–10.2). Alors,
f (x) =
c 0
2
+
∞
k=1
(c k cos 2πkx + s k sin 2πkx)
∀x ∈ R;
(10.7)
plus pr´ ecis´ ement, la s´ erie du membre de droite converge uniform´ ement vers f .
Est-ce que ceci veut dire que les nombres C k et S k que nous avons calcul´ es peuvent
ˆ etre utilis´ es pour reconstruire l’onde sonore ? Oui, et pour nous en convaincre, nous
avons superpos´ e, `
a la figure 10.9, le premier centi` eme de seconde (figure 10.2) et sa
reconstruction
C 0
2
+
800
k=1
(C k cos 2πkt + S k sin 2πkt) .
Notons que nous avons limit´ e la somme aux valeurs de k de 1 ` a 800 plutˆ ot que de
1 ` a ∞ comme le demande le th´ eor` eme de Dirichlet. Bien que le nombre de termes
conserv´ es soit fini, l’accord g´ en´ eral est tr` es bon, mais toutes les oscillations rapides ont
´ et´ e aplanies. Ceci n’est pas surprenant ; il faudrait ajouter plusieurs termes `
a la somme
ci-dessus pour reproduire ces oscillations de grandes fr´ equences. Rappelons de plus que
les coefficients C k et S k utilis´ es dans la somme ne sont que des approximations obtenues
par discr´ etisation des int´ egrales d´ efinissant les c k et s k . Existe-t-il une forme discr` ete
Le spectre d’un instrument, c’est-` a-dire l’ensemble et l’amplitude des fr´ equences qu’il ´ emet, est
un des outils aussi utilis´ es par les synth´ etiseurs de sons.