9.5 Exercices
295
7. Soit la toile de la figure 9.9.
Fig. 9.9. La toile de l’exercice 7
a) ´
Ecrire la matrice de la chaˆ ıne de Markov associ´ ee.
b) Si on est parti de B, quelle est la probabilit´ e de se retrouver en A apr` es deux
clics ?
c) Si on est parti de B, quelle est la probabilit´ e de se retrouver en D apr` es trois
clics ?
d) Calculer la distribution stationnaire et le rang de chaque page. Quelle est la
page la plus importante ?
8. Le but de cet exercice est de montrer que l’hypoth` ese (ii) faite pour obtenir la
propri´ et´ e 9.4 n’est pas toujours vraie.
a) Supposons l’existence de deux toiles parall` eles, c’est-` a-dire que deux ´ enormes
toiles coexistent sans que jamais la premi` ere ne pointe vers une des pages de la
seconde et vice versa. La matrice de transition P pour les deux toiles combin´ ees
aura une forme bien particuli` ere. Laquelle ?
b) Montrer que la matrice de transition P de cette paire de toiles parall` eles poss` ede
deux vecteurs propres de valeur propre 1.
9. a) ´
Ecrire un programme, par exemple en Maple, Matlab ou Mathematica, qui,
´ etant donn´ e n, produise un vecteur (x 1 , x 2 , . . . , x n ) al´ eatoire soumis aux contraintes
x i ∈ [0, 1] pour tout i ∈ T
et
i
x i = 1.
(La plupart des langages de programmation modernes offrent une fonction g´ en´ erant
des nombres pseudo-al´ eatoires.)
b) ´
Ecrire un programme qui produise une matrice n × n telle que la somme des
´ el´ ements de chaque colonne est 1.
c) ´
Ecrire un programme qui, ´ etant donn´ e une matrice P et un entier m, calcule le
produit matriciel de m copies de P , c’est-` a-dire P
m .
295
7. Soit la toile de la figure 9.9.
Fig. 9.9. La toile de l’exercice 7
a) ´
Ecrire la matrice de la chaˆ ıne de Markov associ´ ee.
b) Si on est parti de B, quelle est la probabilit´ e de se retrouver en A apr` es deux
clics ?
c) Si on est parti de B, quelle est la probabilit´ e de se retrouver en D apr` es trois
clics ?
d) Calculer la distribution stationnaire et le rang de chaque page. Quelle est la
page la plus importante ?
8. Le but de cet exercice est de montrer que l’hypoth` ese (ii) faite pour obtenir la
propri´ et´ e 9.4 n’est pas toujours vraie.
a) Supposons l’existence de deux toiles parall` eles, c’est-` a-dire que deux ´ enormes
toiles coexistent sans que jamais la premi` ere ne pointe vers une des pages de la
seconde et vice versa. La matrice de transition P pour les deux toiles combin´ ees
aura une forme bien particuli` ere. Laquelle ?
b) Montrer que la matrice de transition P de cette paire de toiles parall` eles poss` ede
deux vecteurs propres de valeur propre 1.
9. a) ´
Ecrire un programme, par exemple en Maple, Matlab ou Mathematica, qui,
´ etant donn´ e n, produise un vecteur (x 1 , x 2 , . . . , x n ) al´ eatoire soumis aux contraintes
x i ∈ [0, 1] pour tout i ∈ T
et
i
x i = 1.
(La plupart des langages de programmation modernes offrent une fonction g´ en´ erant
des nombres pseudo-al´ eatoires.)
b) ´
Ecrire un programme qui produise une matrice n × n telle que la somme des
´ el´ ements de chaque colonne est 1.
c) ´
Ecrire un programme qui, ´ etant donn´ e une matrice P et un entier m, calcule le
produit matriciel de m copies de P , c’est-` a-dire P
m .