7.3 Le principe du code RSA
223
Si m 1 est relativement premier avec n B , il encode ensuite avec la cl´ e de cryptage
du receveur
m 2 ≡ m
eB
1 (mod n B ).
Il envoie m 2 . Si jamais (m 1 , n B ) = 1, ce qui est tr` es peu probable car n B a tr` es
peu de diviseurs, il change un peu le message m jusqu’` a ce qu’il ait un m tel que
(m, n A ) = 1 et (m 1 , n B ) = 1.
• Pour d´ ecrypter le message, le receveur commence par r´ ecup´ erer m 1 puisqu’il est
le seul ` a connaˆ ıtre d B . Pour cela, il calcule
m 1 ≡ m
dB
2 (mod n B ).
En effet,
m
dB
2 ≡ m
eB dB
1
≡ m
k1φ(nB )+1
1
= m 1 · (m
φ(nB )
1
)
k1
≡ m 1 (mod n B ).
Ensuite, il r´ ecup` ere le message m en utilisant e A qui est public
m ≡ m
eA
1 (mod n A ).
En effet,
m
eA
1 ≡ m
dAeA
≡ m
k2φ(nA)+1 = m · (m
φ(nA) )
k2
≡ m (mod n A ).
Si le message a ´ et´ e envoy´ e par un imposteur, cela devient visible sur r´ eception,
apr` es d´ ecodage. Dans l’exemple 7.11, si le message avait ´ et´ e envoy´ e par un fraudeur, le d´ ecodage ne donnerait presque jamais un nombre de 20 chiffres, donc un
num´ ero possible pour une carte de cr´ edit. Dans un autre contexte o` u on utiliserait
le code RSA pour transmettre un morceau de texte, pr´ ealablement transform´ e en
une suite de nombres, les nombres re¸ cus et retransform´ es en lettres n’auraient a
priori aucune chance de faire des phrases coh´ erentes.
Applications Le code RSA est tr` es utilis´ e sur Internet, par exemple, pour s´ ecuriser un
site lorsqu’il re¸ coit des num´ eros de cartes de cr´ edit. Le syst` eme bancaire est ´ egalement
prot´ eg´ e par le code RSA. Par contre, la m´ ethode de cryptage-d´ ecryptage du code RSA
est longue et fastidieuse. Le syst` eme perd donc son avantage lorsqu’on veut transmettre
de longs textes, et on lui pr´ ef` ere d’autres m´ ethodes, surtout quand le texte transmis
n’a pas besoin d’ˆ etre tenu secret pendant de tr` es longues p´ eriodes. Parmi les m´ ethodes
plus rapides, on trouve le code DES (Data Encryption Standard) ou encore le code
AES (Advanced Encryption Standard) (voir, par exemple, [2]). Les codes DES et AES
sont des syst` emes cryptographiques ` a cl´ e sym´ etrique, c’est-` a-dire que l’exp´ editeur et le
receveur partagent la mˆ eme cl´ e et s’en servent pour crypter et d´ ecrypter le message. La
cl´ e est typiquement beaucoup plus courte que le message. L’exp´ editeur et le receveur
peuvent utiliser le code RSA pour se transmettre la cl´ e qui, dans ce cas-ci, n’est pas
publique.
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Si m 1 est relativement premier avec n B , il encode ensuite avec la cl´ e de cryptage
du receveur
m 2 ≡ m
eB
1 (mod n B ).
Il envoie m 2 . Si jamais (m 1 , n B ) = 1, ce qui est tr` es peu probable car n B a tr` es
peu de diviseurs, il change un peu le message m jusqu’` a ce qu’il ait un m tel que
(m, n A ) = 1 et (m 1 , n B ) = 1.
• Pour d´ ecrypter le message, le receveur commence par r´ ecup´ erer m 1 puisqu’il est
le seul ` a connaˆ ıtre d B . Pour cela, il calcule
m 1 ≡ m
dB
2 (mod n B ).
En effet,
m
dB
2 ≡ m
eB dB
1
≡ m
k1φ(nB )+1
1
= m 1 · (m
φ(nB )
1
)
k1
≡ m 1 (mod n B ).
Ensuite, il r´ ecup` ere le message m en utilisant e A qui est public
m ≡ m
eA
1 (mod n A ).
En effet,
m
eA
1 ≡ m
dAeA
≡ m
k2φ(nA)+1 = m · (m
φ(nA) )
k2
≡ m (mod n A ).
Si le message a ´ et´ e envoy´ e par un imposteur, cela devient visible sur r´ eception,
apr` es d´ ecodage. Dans l’exemple 7.11, si le message avait ´ et´ e envoy´ e par un fraudeur, le d´ ecodage ne donnerait presque jamais un nombre de 20 chiffres, donc un
num´ ero possible pour une carte de cr´ edit. Dans un autre contexte o` u on utiliserait
le code RSA pour transmettre un morceau de texte, pr´ ealablement transform´ e en
une suite de nombres, les nombres re¸ cus et retransform´ es en lettres n’auraient a
priori aucune chance de faire des phrases coh´ erentes.
Applications Le code RSA est tr` es utilis´ e sur Internet, par exemple, pour s´ ecuriser un
site lorsqu’il re¸ coit des num´ eros de cartes de cr´ edit. Le syst` eme bancaire est ´ egalement
prot´ eg´ e par le code RSA. Par contre, la m´ ethode de cryptage-d´ ecryptage du code RSA
est longue et fastidieuse. Le syst` eme perd donc son avantage lorsqu’on veut transmettre
de longs textes, et on lui pr´ ef` ere d’autres m´ ethodes, surtout quand le texte transmis
n’a pas besoin d’ˆ etre tenu secret pendant de tr` es longues p´ eriodes. Parmi les m´ ethodes
plus rapides, on trouve le code DES (Data Encryption Standard) ou encore le code
AES (Advanced Encryption Standard) (voir, par exemple, [2]). Les codes DES et AES
sont des syst` emes cryptographiques ` a cl´ e sym´ etrique, c’est-` a-dire que l’exp´ editeur et le
receveur partagent la mˆ eme cl´ e et s’en servent pour crypter et d´ ecrypter le message. La
cl´ e est typiquement beaucoup plus courte que le message. L’exp´ editeur et le receveur
peuvent utiliser le code RSA pour se transmettre la cl´ e qui, dans ce cas-ci, n’est pas
publique.