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7 La cryptographie ` a cl´ e publique
La compagnie choisit ensuite
e = 115670849
qui satisfait `
a (e, φ(n)) = 1, et utilise le corollaire 7.6 pour calculer :
d = 34113931743910925784483561065442183977516731202177.
Le d de notre exemple est un grand nombre. On doit s’en f´ eliciter, car cela r´ eduit `
a
n´ eant la possibilit´ e de le d´ ecouvrir par hasard en cherchant `
a l’aveuglette.
A priori, on ne peut envoyer que des messages relativement premiers avec n. Ici,
aucun probl` eme : les seuls diviseurs de n ont au moins 25 chiffres, et donc, tout nombre
de 20 chiffres est relativement premier avec n. Un client a le num´ ero de carte de cr´ edit
4540 3204 4567 8231, et la date d’expiration de sa carte est le 10/02. On doit donc
envoyer le message m = 45403204456782311002. Avant d’envoyer, le logiciel calcule
m
e
≡ a ≡ 49329085221791275793017511397395566847998886183308 (mod n).
Le nombre a est transmis. Sur r´ eception, la compagnie calcule
a
d
≡ 45403204456782311002 = m (mod n).
Dans cet exemple, les entiers p et q choisis ne sont pas assez grands, et un ordinateur
pourrait factoriser n.
Que se passerait-il s’il y avait une erreur de transmission ? On pourrait facilement
s’en rendre compte : le message erron´ e n’a a priori aucune raison d’avoir 20 chiffres
une fois d´ ecod´ e.
Signature d’un message Jusqu’` a pr´ esent, on a vu qu’une personne, que nous appellerons B´ eatrice, peut mettre sur pied un syst` eme de cryptographie `
a cl´ e publique lui
permettant de d´ ecrypter des messages re¸ cus de n’importe qui. Supposons que B´ eatrice
re¸ coive un message de son associ´ e Alain lui demandant de faire un virement de fonds
dans un compte en banque dont il lui donne les coordonn´ ees. Qu’est-ce qui lui prouve
que ce message provient r´ eellement d’Alain et non d’un fraudeur qui se fait passer pour
son associ´ e ? On voit qu’il est n´ ecessaire qu’Alain puisse prouver qu’il est bien l’auteur
du message que B´ eatrice re¸ coit. C’est ce qu’on appelle signer un message.
Dans ce cas, tant l’exp´ editeur que le r´ ecepteur se fabriquent un syst` eme ` a cl´ e publique, soit un triplet (n, e, d). Deux cl´ es publiques sont n´ ecessaires.
• l’exp´ editeur (ici Alain) publie n A , e A et garde d A secr` ete ;
• le receveur (ici B´ eatrice) publie n B , e B et garde d B secr` ete.
Transmission d’un message sign´ e
• Pour envoyer un message m relativement premier avec n A , l’exp´ editeur commence
par apposer sa signature en calculant
m 1 ≡ m
dA (mod n A ).
7 La cryptographie ` a cl´ e publique
La compagnie choisit ensuite
e = 115670849
qui satisfait `
a (e, φ(n)) = 1, et utilise le corollaire 7.6 pour calculer :
d = 34113931743910925784483561065442183977516731202177.
Le d de notre exemple est un grand nombre. On doit s’en f´ eliciter, car cela r´ eduit `
a
n´ eant la possibilit´ e de le d´ ecouvrir par hasard en cherchant `
a l’aveuglette.
A priori, on ne peut envoyer que des messages relativement premiers avec n. Ici,
aucun probl` eme : les seuls diviseurs de n ont au moins 25 chiffres, et donc, tout nombre
de 20 chiffres est relativement premier avec n. Un client a le num´ ero de carte de cr´ edit
4540 3204 4567 8231, et la date d’expiration de sa carte est le 10/02. On doit donc
envoyer le message m = 45403204456782311002. Avant d’envoyer, le logiciel calcule
m
e
≡ a ≡ 49329085221791275793017511397395566847998886183308 (mod n).
Le nombre a est transmis. Sur r´ eception, la compagnie calcule
a
d
≡ 45403204456782311002 = m (mod n).
Dans cet exemple, les entiers p et q choisis ne sont pas assez grands, et un ordinateur
pourrait factoriser n.
Que se passerait-il s’il y avait une erreur de transmission ? On pourrait facilement
s’en rendre compte : le message erron´ e n’a a priori aucune raison d’avoir 20 chiffres
une fois d´ ecod´ e.
Signature d’un message Jusqu’` a pr´ esent, on a vu qu’une personne, que nous appellerons B´ eatrice, peut mettre sur pied un syst` eme de cryptographie `
a cl´ e publique lui
permettant de d´ ecrypter des messages re¸ cus de n’importe qui. Supposons que B´ eatrice
re¸ coive un message de son associ´ e Alain lui demandant de faire un virement de fonds
dans un compte en banque dont il lui donne les coordonn´ ees. Qu’est-ce qui lui prouve
que ce message provient r´ eellement d’Alain et non d’un fraudeur qui se fait passer pour
son associ´ e ? On voit qu’il est n´ ecessaire qu’Alain puisse prouver qu’il est bien l’auteur
du message que B´ eatrice re¸ coit. C’est ce qu’on appelle signer un message.
Dans ce cas, tant l’exp´ editeur que le r´ ecepteur se fabriquent un syst` eme ` a cl´ e publique, soit un triplet (n, e, d). Deux cl´ es publiques sont n´ ecessaires.
• l’exp´ editeur (ici Alain) publie n A , e A et garde d A secr` ete ;
• le receveur (ici B´ eatrice) publie n B , e B et garde d B secr` ete.
Transmission d’un message sign´ e
• Pour envoyer un message m relativement premier avec n A , l’exp´ editeur commence
par apposer sa signature en calculant
m 1 ≡ m
dA (mod n A ).