Table des mati` eres XVII
14 Le calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
14.1 Le probl` eme fondamental du calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
14.2 L’´ equation d’Euler–Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
14.3 Le principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
14.4 La meilleure piste de planche ` a roulettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
14.5 Le tunnel le plus rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
14.6 La propri´ et´ e tautochrone de la courbe cyclo¨ ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
14.7 Un dispositif isochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
14.8 Pellicules de savon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
14.9 Le principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
14.10 Deux probl` emes isop´ erim´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
14.11 Le miroir liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
14.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
15 Flashs-science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
15.1 Les lois de r´ eflexion et de r´ efraction de la lumi` ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
15.2 Quelques applications des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
15.2.1 Une propri´ et´ e remarquable de la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
15.2.2 L’ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
15.2.3 L’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
15.2.4 Des outils ing´ enieux pour tracer les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . 535
15.3 Les quadriques en architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
15.4 La disposition optimale des antennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
15.5 Les diagrammes de Vorono¨ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
15.6 La vision des ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
15.7 Un bref coup d’œil sur l’architecture d’un ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . 553
15.8 Le pavage r´ egulier `
a 12 pentagones sph´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
15.9 Le piquetage d’une route. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
15.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
14 Le calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
14.1 Le probl` eme fondamental du calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
14.2 L’´ equation d’Euler–Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
14.3 Le principe de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
14.4 La meilleure piste de planche ` a roulettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
14.5 Le tunnel le plus rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
14.6 La propri´ et´ e tautochrone de la courbe cyclo¨ ıde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
14.7 Un dispositif isochrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
14.8 Pellicules de savon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
14.9 Le principe de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
14.10 Deux probl` emes isop´ erim´ etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
14.11 Le miroir liquide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
14.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
15 Flashs-science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
15.1 Les lois de r´ eflexion et de r´ efraction de la lumi` ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
15.2 Quelques applications des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
15.2.1 Une propri´ et´ e remarquable de la parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
15.2.2 L’ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
15.2.3 L’hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
15.2.4 Des outils ing´ enieux pour tracer les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . 535
15.3 Les quadriques en architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
15.4 La disposition optimale des antennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
15.5 Les diagrammes de Vorono¨ ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
15.6 La vision des ordinateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
15.7 Un bref coup d’œil sur l’architecture d’un ordinateur . . . . . . . . . . . . . . . 553
15.8 Le pavage r´ egulier `
a 12 pentagones sph´ eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
15.9 Le piquetage d’une route. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
15.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583