4.2 D´ efinition de squelette. R´ egions bidimensionnelles
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Sur la figure 4.7c, on trouve un exemple de r-squelette. Nous avons choisi r =
h
4 .
Pour obtenir ce
h
4 -squelette, nous n’avons conserv´ e que les centres des disques qui ont
un rayon sup´ erieur ou ´ egal ` a
h
4 . La moiti´ e des segments sur les bissectrices a ainsi
´ et´ e rejet´ ee. Le concept de r-squelette est utile pour la raison suivante : puisque les
doses d’une solution optimale pour une chirurgie aux rayons gamma sont centr´ ees sur
le squelette et que les doses attaquent une boule de rayon minimal r 0 (r 0 = 2 mm dans
la technologie actuelle), ces doses devront ˆ etre centr´ ees `
a distance r 0 de la fronti` ere et
donc appartenir au r 0 -squelette.
Avant de donner un second exemple, revenons ` a la d´ efinition intuitive du squelette
comme lieu g´ eom´ etrique des points o` u s’´ eteint un feu allum´ e simultan´ ement en tous
les points de la fronti` ere ∂R. Dans cette analogie, chacun des points de la fronti` ere
est un foyer du feu. Le feu se propage de chacun de ces foyers ` a vitesse ´ egale dans
toutes les directions int´ erieures ` a R et, ` a chaque instant, dessine un front qui est un
arc de cercle. Nous dirons que le feu s’´ eteint en un point X de R si ce point est atteint
pour la premi` ere fois simultan´ ement par deux fronts. La relation entre cette analogie
et la d´ efinition formelle du squelette est alors limpide. Puisque X est atteint pour la
premi` ere fois par les fronts issus de deux points X 1 et X 2 ∈ ∂R, c’est que ces points
sont ceux de la fronti` ere qui sont les plus proches de X ; puisque leurs fronts atteignent
X simultan´ ement, c’est qu’ils sont ` a ´ egale distance de X. Ainsi X est tel que
|X 1 − X| = |X 2 − X| = min
Y ∈∂R
|Y − X|,
ce qui est pr´ ecis´ ement la condition pour que X appartienne au squelette. Notons que
la condition que nous proposons pour que « le feu s’´ eteigne en X » n’est qu’intuitive.
Par exemple, lorsque deux fronts atteignent un point X sur la bissectrice issue d’un
sommet du rectangle, le feu s’´ eteindra en ce point, mais poursuivra sa route le long
de la bissectrice. La figure 4.8 capture le feu ` a deux instants, lorsque le feu a couvert
une distance de
h
4 (en (a)) et lorsqu’il a parcouru une distance de
h
2 (en (b)). Plusieurs
fronts issus des foyers sur la fronti` ere sont trac´ es pour ces deux moments. Seuls les quatre
points indiqu´ es sur la figure 4.8a s’« ´ eteindront » au premier instant dessin´ e. Cependant,
au second instant choisi (figure 4.8b), tout l’intervalle I d´ ecrit dans l’exemple ci-dessus
s’´ eteindra. Cette analogie est fort riche et elle nous permettra d’obtenir le squelette pour
une r´ egion d´ elimit´ ee par une courbe ferm´ ee continˆ ument diff´ erentiable.
Remarque Mˆ eme si le feu allum´ e en un point se propage dans toutes les directions,
lorsqu’on allume le feu simultan´ ement en tous les points de la fronti` ere, on voit le front
avancer ` a vitesse constante le long de la normale ` a la fronti` ere. Cela vient du fait que,
dans les autres directions, le feu s’´ eteint parce qu’il rencontre le feu issu des autres
points de la fronti` ere.
Exemple 4.9 (l’ellipse) Nous allumons le feu simultan´ ement en chaque point de l’ellipse, et il se propage `
a vitesse constante ` a l’int´ erieur de l’ellipse. En chaque point de
la fronti` ere, le feu se propage le long de la normale `
a la fronti` ere. De plus, `
a chaque
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Sur la figure 4.7c, on trouve un exemple de r-squelette. Nous avons choisi r =
h
4 .
Pour obtenir ce
h
4 -squelette, nous n’avons conserv´ e que les centres des disques qui ont
un rayon sup´ erieur ou ´ egal ` a
h
4 . La moiti´ e des segments sur les bissectrices a ainsi
´ et´ e rejet´ ee. Le concept de r-squelette est utile pour la raison suivante : puisque les
doses d’une solution optimale pour une chirurgie aux rayons gamma sont centr´ ees sur
le squelette et que les doses attaquent une boule de rayon minimal r 0 (r 0 = 2 mm dans
la technologie actuelle), ces doses devront ˆ etre centr´ ees `
a distance r 0 de la fronti` ere et
donc appartenir au r 0 -squelette.
Avant de donner un second exemple, revenons ` a la d´ efinition intuitive du squelette
comme lieu g´ eom´ etrique des points o` u s’´ eteint un feu allum´ e simultan´ ement en tous
les points de la fronti` ere ∂R. Dans cette analogie, chacun des points de la fronti` ere
est un foyer du feu. Le feu se propage de chacun de ces foyers ` a vitesse ´ egale dans
toutes les directions int´ erieures ` a R et, ` a chaque instant, dessine un front qui est un
arc de cercle. Nous dirons que le feu s’´ eteint en un point X de R si ce point est atteint
pour la premi` ere fois simultan´ ement par deux fronts. La relation entre cette analogie
et la d´ efinition formelle du squelette est alors limpide. Puisque X est atteint pour la
premi` ere fois par les fronts issus de deux points X 1 et X 2 ∈ ∂R, c’est que ces points
sont ceux de la fronti` ere qui sont les plus proches de X ; puisque leurs fronts atteignent
X simultan´ ement, c’est qu’ils sont ` a ´ egale distance de X. Ainsi X est tel que
|X 1 − X| = |X 2 − X| = min
Y ∈∂R
|Y − X|,
ce qui est pr´ ecis´ ement la condition pour que X appartienne au squelette. Notons que
la condition que nous proposons pour que « le feu s’´ eteigne en X » n’est qu’intuitive.
Par exemple, lorsque deux fronts atteignent un point X sur la bissectrice issue d’un
sommet du rectangle, le feu s’´ eteindra en ce point, mais poursuivra sa route le long
de la bissectrice. La figure 4.8 capture le feu ` a deux instants, lorsque le feu a couvert
une distance de
h
4 (en (a)) et lorsqu’il a parcouru une distance de
h
2 (en (b)). Plusieurs
fronts issus des foyers sur la fronti` ere sont trac´ es pour ces deux moments. Seuls les quatre
points indiqu´ es sur la figure 4.8a s’« ´ eteindront » au premier instant dessin´ e. Cependant,
au second instant choisi (figure 4.8b), tout l’intervalle I d´ ecrit dans l’exemple ci-dessus
s’´ eteindra. Cette analogie est fort riche et elle nous permettra d’obtenir le squelette pour
une r´ egion d´ elimit´ ee par une courbe ferm´ ee continˆ ument diff´ erentiable.
Remarque Mˆ eme si le feu allum´ e en un point se propage dans toutes les directions,
lorsqu’on allume le feu simultan´ ement en tous les points de la fronti` ere, on voit le front
avancer ` a vitesse constante le long de la normale ` a la fronti` ere. Cela vient du fait que,
dans les autres directions, le feu s’´ eteint parce qu’il rencontre le feu issu des autres
points de la fronti` ere.
Exemple 4.9 (l’ellipse) Nous allumons le feu simultan´ ement en chaque point de l’ellipse, et il se propage `
a vitesse constante ` a l’int´ erieur de l’ellipse. En chaque point de
la fronti` ere, le feu se propage le long de la normale `
a la fronti` ere. De plus, `
a chaque