4.2 D´ efinition de squelette. R´ egions bidimensionnelles
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Fig. 4.5. La normale `
a un cercle passe par le centre du cercle.
on conclut que α = β. `
A la limite, lorsque A et B sont confondus, on aura les deux
conditions
α = β
α + β = π.
On conclut qu’` a la limite, α = β =
π
2 . Nous laissons la deuxi` eme partie comme exercice.
Exemple 4.8 (le rectangle) Nous allons obtenir le squelette d’un rectangle R de base
b et de hauteur h tel que b > h. D’apr` es le lemme 4.6, il est naturel de construire les
six droites qui peuvent contenir des points du squelette en prenant les cˆ ot´ es du rectangle
deux ` a deux : les quatre droites bissectrices, la droite parall` ele aux cˆ ot´ es verticaux et la
droite parall` ele aux cˆ ot´ es horizontaux (voir la figure 4.6).
On peut rapidement exclure tout segment de la droite verticale. En effet, prenons un
point sur cette droite qui soit int´ erieur au rectangle. Sa distance aux cˆ ot´ es verticaux sera
toujours plus grande que sa distance au cˆ ot´ e horizontal le plus proche, car b > h. Et ` a
moins d’ˆ etre ` a ´ egale distance des cˆ ot´ es sup´ erieur et inf´ erieur, le cercle qui y est centr´ e ne
touchera au rectangle qu’en un point. Un segment I de la droite horizontale appartient
sˆ urement au squelette. `
A nouveau, soit un point sur cette droite qui est int´ erieur au
rectangle ; le cercle qui est de rayon
h
2 touche aux deux cˆ ot´ es horizontaux. La seule
restriction pour que ce point appartienne au squelette est que ce point ne soit pas trop
proche des cˆ ot´ es verticaux, c’est-` a-dire qu’il en soit `
a une distance sup´ erieure ou ´ egale
` a
h
2 . Si l’origine des coordonn´ ees cart´ esiennes co¨ ıncide avec le sommet inf´ erieur gauche
et si la base est le long de l’axe horizontal, alors les deux disques de rayon
h
2 avec trois
points de tangence sont centr´ es en (
h
2 ,
h
2 ) et (b −
h
2 ,
h
2 ). Nous venons donc d’identifier
un segment qui sera un sous-ensemble du squelette du rectangle : I = {(x,
h
2 ) ∈ R
2
|
h
2 ≤
x ≤ b −
h
2 } ⊂ Σ(rectangle). Par un argument semblable, il est ais´ e de se convaincre que
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Fig. 4.5. La normale `
a un cercle passe par le centre du cercle.
on conclut que α = β. `
A la limite, lorsque A et B sont confondus, on aura les deux
conditions
α = β
α + β = π.
On conclut qu’` a la limite, α = β =
π
2 . Nous laissons la deuxi` eme partie comme exercice.
Exemple 4.8 (le rectangle) Nous allons obtenir le squelette d’un rectangle R de base
b et de hauteur h tel que b > h. D’apr` es le lemme 4.6, il est naturel de construire les
six droites qui peuvent contenir des points du squelette en prenant les cˆ ot´ es du rectangle
deux ` a deux : les quatre droites bissectrices, la droite parall` ele aux cˆ ot´ es verticaux et la
droite parall` ele aux cˆ ot´ es horizontaux (voir la figure 4.6).
On peut rapidement exclure tout segment de la droite verticale. En effet, prenons un
point sur cette droite qui soit int´ erieur au rectangle. Sa distance aux cˆ ot´ es verticaux sera
toujours plus grande que sa distance au cˆ ot´ e horizontal le plus proche, car b > h. Et ` a
moins d’ˆ etre ` a ´ egale distance des cˆ ot´ es sup´ erieur et inf´ erieur, le cercle qui y est centr´ e ne
touchera au rectangle qu’en un point. Un segment I de la droite horizontale appartient
sˆ urement au squelette. `
A nouveau, soit un point sur cette droite qui est int´ erieur au
rectangle ; le cercle qui est de rayon
h
2 touche aux deux cˆ ot´ es horizontaux. La seule
restriction pour que ce point appartienne au squelette est que ce point ne soit pas trop
proche des cˆ ot´ es verticaux, c’est-` a-dire qu’il en soit `
a une distance sup´ erieure ou ´ egale
` a
h
2 . Si l’origine des coordonn´ ees cart´ esiennes co¨ ıncide avec le sommet inf´ erieur gauche
et si la base est le long de l’axe horizontal, alors les deux disques de rayon
h
2 avec trois
points de tangence sont centr´ es en (
h
2 ,
h
2 ) et (b −
h
2 ,
h
2 ). Nous venons donc d’identifier
un segment qui sera un sous-ensemble du squelette du rectangle : I = {(x,
h
2 ) ∈ R
2
|
h
2 ≤
x ≤ b −
h
2 } ⊂ Σ(rectangle). Par un argument semblable, il est ais´ e de se convaincre que