XIV
Table des mati` eres
3 Les mouvements d’un robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.1 Les mouvements d’un solide dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.2 R´ eflexion sur le nombre de degr´ es de libert´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2
Mouvements qui pr´ eservent distances et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3
Propri´ et´ es des matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4
Les changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5
Les diff´ erents rep` eres associ´ es ` a un robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
R´ ef´ erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2
D´ efinition de squelette. R´ egions bidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3
R´ egions tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4
L’algorithme optimal pour la chirurgie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5
Un algorithme num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5.1 Premi` ere partie de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.5.2 Deuxi` eme partie de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.5.3 Preuve de la proposition 4.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.6
Les autres applications du squelette en science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.7
La propri´ et´ e fondamentale du squelette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5
´
Epargner et emprunter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1
Vocabulaire bancaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2
Composition des int´ erˆ ets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3
Un plan d’´ epargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.4
Emprunter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.5
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6
Appendice : tables de prˆ ets hypoth´ ecaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6 Codes correcteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.1
Introduction : num´ eriser, d´ etecter et corriger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2
Le corps F 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.3
Le code de Hamming C(7, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4
Les codes de Hamming C(2
k
− 1, 2
k
− k − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.5
Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.6
Les codes de Reed et Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Table des mati` eres
3 Les mouvements d’un robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.1.1 Les mouvements d’un solide dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.2 R´ eflexion sur le nombre de degr´ es de libert´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2
Mouvements qui pr´ eservent distances et angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.3
Propri´ et´ es des matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.4
Les changements de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.5
Les diff´ erents rep` eres associ´ es ` a un robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.6
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
R´ ef´ erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2
D´ efinition de squelette. R´ egions bidimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3
R´ egions tridimensionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.4
L’algorithme optimal pour la chirurgie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5
Un algorithme num´ erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.5.1 Premi` ere partie de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.5.2 Deuxi` eme partie de l’algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.5.3 Preuve de la proposition 4.17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.6
Les autres applications du squelette en science . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.7
La propri´ et´ e fondamentale du squelette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.8
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5
´
Epargner et emprunter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1
Vocabulaire bancaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2
Composition des int´ erˆ ets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3
Un plan d’´ epargne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.4
Emprunter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.5
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6
Appendice : tables de prˆ ets hypoth´ ecaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
R´ ef´ erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
6 Codes correcteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.1
Introduction : num´ eriser, d´ etecter et corriger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.2
Le corps F 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.3
Le code de Hamming C(7, 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
6.4
Les codes de Hamming C(2
k
− 1, 2
k
− k − 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.5
Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.6
Les codes de Reed et Solomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198