50
2 Equations non linéaires
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
x
(0)
x
(1)
x
(2)
x
(3)
f
α
Figure 2.3. Les premières itérations obtenues avec la méthode de Newton
pour la fonction f (x) = x + e
x + 10/(1 + x
2 ) − 5 en partant d’une donnée
initiale x
(0)
en supposant f
(x
(k) ) = 0. Cette formule permet de construire une suite
x
(k) , étant donné une valeur initiale x
(0) . Cette méthode est connue sous
le nom de méthode de Newton et revient à calculer le zéro de f en
remplaçant localement f par sa tangente (voir Figure 2.3).
En faisant un développement de Taylor de f au voisinage d’un point
arbitraire x
(k) , on trouve
f(x
(k+1) ) = f(x
(k) ) + δ
(k) f
(x
(k) ) + O((δ
(k) )
2 ),
(2.8)
où δ
(k) = x
(k+1)
− x
(k) . En écrivant que f(x
(k+1) ) est égal à zéro et
en négligeant le terme O((δ
(k) )
2 ), on obtient x
(k+1) en fonction de x
(k)
comme défini en (2.7). De ce point de vue, on peut considérer (2.7)
comme une approximation de (2.8).
Bien sûr, (2.7) converge en une seule itération quand f est linéaire,
c’est-à-dire quand f(x) = a 1 x + a 0 .
Exemple 2.2 Résolvons le Problème 2.1 par la méthode de Newton, en prenant comme donnée initiale x
(0) = 0.3. Après 6 étapes, la différence entre deux
itérées successives est inférieure ou égale à 10
−12 .
En général, la méthode de Newton ne converge pas pour des valeurs
arbitraires de x
(0) , mais seulement pour des valeurs suffisamment proches
de α, c’est-à-dire appartenant à un certain voisinage I(α) de α. Au premier abord, cette condition semble inutilisable : elle signifie en effet que
pour calculer α (qui est inconnu), on devrait partir d’une valeur assez
proche de α !
En pratique, on peut obtenir une valeur initiale x
(0) en effectuant
quelques itérations de la méthode de dichotomie ou en examinant le
graphe de f. Si x
(0) est convenablement choisi et si α est un zéro simple
(c’est-à-dire tel que f
(α) = 0) alors la méthode de Newton converge. De
plus, dans le cas particulier où f est deux fois continûment différentiable
on a le résultat de convergence suivant (voir Exercice 2.8),
2 Equations non linéaires
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
x
(0)
x
(1)
x
(2)
x
(3)
f
α
Figure 2.3. Les premières itérations obtenues avec la méthode de Newton
pour la fonction f (x) = x + e
x + 10/(1 + x
2 ) − 5 en partant d’une donnée
initiale x
(0)
en supposant f
(x
(k) ) = 0. Cette formule permet de construire une suite
x
(k) , étant donné une valeur initiale x
(0) . Cette méthode est connue sous
le nom de méthode de Newton et revient à calculer le zéro de f en
remplaçant localement f par sa tangente (voir Figure 2.3).
En faisant un développement de Taylor de f au voisinage d’un point
arbitraire x
(k) , on trouve
f(x
(k+1) ) = f(x
(k) ) + δ
(k) f
(x
(k) ) + O((δ
(k) )
2 ),
(2.8)
où δ
(k) = x
(k+1)
− x
(k) . En écrivant que f(x
(k+1) ) est égal à zéro et
en négligeant le terme O((δ
(k) )
2 ), on obtient x
(k+1) en fonction de x
(k)
comme défini en (2.7). De ce point de vue, on peut considérer (2.7)
comme une approximation de (2.8).
Bien sûr, (2.7) converge en une seule itération quand f est linéaire,
c’est-à-dire quand f(x) = a 1 x + a 0 .
Exemple 2.2 Résolvons le Problème 2.1 par la méthode de Newton, en prenant comme donnée initiale x
(0) = 0.3. Après 6 étapes, la différence entre deux
itérées successives est inférieure ou égale à 10
−12 .
En général, la méthode de Newton ne converge pas pour des valeurs
arbitraires de x
(0) , mais seulement pour des valeurs suffisamment proches
de α, c’est-à-dire appartenant à un certain voisinage I(α) de α. Au premier abord, cette condition semble inutilisable : elle signifie en effet que
pour calculer α (qui est inconnu), on devrait partir d’une valeur assez
proche de α !
En pratique, on peut obtenir une valeur initiale x
(0) en effectuant
quelques itérations de la méthode de dichotomie ou en examinant le
graphe de f. Si x
(0) est convenablement choisi et si α est un zéro simple
(c’est-à-dire tel que f
(α) = 0) alors la méthode de Newton converge. De
plus, dans le cas particulier où f est deux fois continûment différentiable
on a le résultat de convergence suivant (voir Exercice 2.8),