2.3 Méthode de Newton
49
Exemple 2.1 (Fonds d’investissement) Appliquons la méthode de dichotomie pour résoudre le Problème 2.1, en supposant que v est égal à 1000 euros
et qu’après 5 ans M est égal à 6000 euros. Le graphe de la fonction f peut
être obtenu avec les instructions suivantes :
f = inline ( ’M -v *(1+ T ).*((1+ T ).^5 - 1)./ T ’, ’T ’ ,’M ’ ,’v ’ );
plot ([0.01 ,0.3] , feval (f ,[0.01 ,0.3] ,6000 ,1000));
(nous rappelons que le prompt est omis pour alléger les notations). Nous voyons
que la fonction f admet un unique zéro dans l’intervalle ]0.01, 0.1[, valant
approximativement 0.06. Si on exécute le Programme 2.1 avec tol= 10
−12 ,
a= 0.01 et b= 0.1 comme suit :
[ zero , res , niter ]= b i s ecti on(f ,0.01 ,0.1 ,1. e -12 ,1000 ,...
6000 ,1000);
après 36 itérations la méthode converge vers la valeur 0.06140241153618, en
accord parfait avec l’estimation (2.6) selon laquelle kmin = 36. On conclut
ainsi que le taux d’intérêt T est approximativement égal à 6.14%.
La méthode de dichotomie est simple mais elle ne garantit pas une
réduction monotone de l’erreur d’une itération à l’autre : tout ce dont
on est assuré, c’est que la longueur de l’intervalle de recherche est divisée par deux à chaque étape. Par conséquent, si le seul critère d’arrêt
est le contrôle de la longueur de I
(k) , on risque de rejeter de bonnes
approximations de α.
En fait, cette méthode ne prend pas suffisamment en compte le comportement réel de f. Il est par exemple frappant que la méthode ne
converge pas en une seule itération quand f est linéaire (à moins que le
zéro α ne soit le milieu de l’intervalle de recherche initial).
Voir les Exercices 2.1–2.5.
2.3 Méthode de Newton
La seule information utilisée par la méthode de dichotomie est le signe
de la fonction f aux extrémités des sous-intervalles. Dans le cas où f est
différentiable, on peut construire une méthode plus efficace en exploitant
les valeurs de f et de ses dérivées. En partant de l’équation de la tangente
à la courbe (x, f(x)) au point x
(k) ,
y(x) = f(x
(k) ) + f
(x
(k) )(x − x
(k) )
et en faisant comme si x
(k+1) vérifiait y(x
(k+1) ) = 0, on obtient
x
(k+1) = x
(k)
−
f(x
(k) )
f (x (k) )
, k ≥ 0
(2.7)
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Exemple 2.1 (Fonds d’investissement) Appliquons la méthode de dichotomie pour résoudre le Problème 2.1, en supposant que v est égal à 1000 euros
et qu’après 5 ans M est égal à 6000 euros. Le graphe de la fonction f peut
être obtenu avec les instructions suivantes :
f = inline ( ’M -v *(1+ T ).*((1+ T ).^5 - 1)./ T ’, ’T ’ ,’M ’ ,’v ’ );
plot ([0.01 ,0.3] , feval (f ,[0.01 ,0.3] ,6000 ,1000));
(nous rappelons que le prompt est omis pour alléger les notations). Nous voyons
que la fonction f admet un unique zéro dans l’intervalle ]0.01, 0.1[, valant
approximativement 0.06. Si on exécute le Programme 2.1 avec tol= 10
−12 ,
a= 0.01 et b= 0.1 comme suit :
[ zero , res , niter ]= b i s ecti on(f ,0.01 ,0.1 ,1. e -12 ,1000 ,...
6000 ,1000);
après 36 itérations la méthode converge vers la valeur 0.06140241153618, en
accord parfait avec l’estimation (2.6) selon laquelle kmin = 36. On conclut
ainsi que le taux d’intérêt T est approximativement égal à 6.14%.
La méthode de dichotomie est simple mais elle ne garantit pas une
réduction monotone de l’erreur d’une itération à l’autre : tout ce dont
on est assuré, c’est que la longueur de l’intervalle de recherche est divisée par deux à chaque étape. Par conséquent, si le seul critère d’arrêt
est le contrôle de la longueur de I
(k) , on risque de rejeter de bonnes
approximations de α.
En fait, cette méthode ne prend pas suffisamment en compte le comportement réel de f. Il est par exemple frappant que la méthode ne
converge pas en une seule itération quand f est linéaire (à moins que le
zéro α ne soit le milieu de l’intervalle de recherche initial).
Voir les Exercices 2.1–2.5.
2.3 Méthode de Newton
La seule information utilisée par la méthode de dichotomie est le signe
de la fonction f aux extrémités des sous-intervalles. Dans le cas où f est
différentiable, on peut construire une méthode plus efficace en exploitant
les valeurs de f et de ses dérivées. En partant de l’équation de la tangente
à la courbe (x, f(x)) au point x
(k) ,
y(x) = f(x
(k) ) + f
(x
(k) )(x − x
(k) )
et en faisant comme si x
(k+1) vérifiait y(x
(k+1) ) = 0, on obtient
x
(k+1) = x
(k)
−
f(x
(k) )
f (x (k) )
, k ≥ 0
(2.7)