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1 Ce qu’on ne peut ignorer
Exercice 1.2 Montrer que l’ensemble F(β, t, L, U ) contient exactement 2(β −
1)β
t−1 (U − L + 1) éléments.
Exercice 1.3 Montrer que i
i est un nombre réel, puis vérifier ce résultat avec
MATLAB ou Octave.
Exercice 1.4 Ecrire les instructions MATLAB pour construire une matrice
triangulaire supérieure (resp. inférieure) de dimension 10 ayant des 2 sur la diagonale principale et des −3 sur la seconde sur-diagonale (resp. sous-diagonale).
Exercice 1.5 Ecrire les instructions MATLAB permettant d’interchanger la
troisième et la septième ligne des matrices construites à l’Exercice 1.4, puis les
instructions permettant d’échanger la quatrième et la huitième colonne.
Exercice 1.6 Vérifier si les vecteurs suivants de R
4 sont linéairement indépendants :
v1 = [0 1 0 1], v2 = [1 2 3 4], v3 = [1 0 1 0], v4 = [0 0 1 1].
Exercice 1.7 Ecrire les fonctions suivantes, calculer leurs dérivées premières
et secondes ainsi que leurs primitives, en utilisant la toolbox symbolic de
MATLAB
f (x) =
√
x 2 + 1, g(x) = sin(x
3 ) + cosh(x).
Exercice 1.8 Pour un vecteur donné v de dimension n, construire avec la
commande c=poly(v) les n + 1 coefficients du polynôme p(x) =
poly n+1
k=1 c(k)x
n+1−k qui est égal à Π
n
k=1 (x − v(k)). En arithmétique exacte, on
devrait avoir v = roots(poly(v)). En fait, ce n’est pas le cas à cause des
erreurs d’arrondi. Le vérifier avec la commande roots(poly([1:n])), pour n
variant de 2 à 25.
Exercice 1.9 Ecrire un programme pour calculer la suite
I0 =
1
e
(e − 1),
In+1 = 1 − (n + 1)In, pour n = 0, 1, . . . .
Comparer le résultat numérique avec la limite exacte In → 0 pour n → ∞.
Exercice 1.10 Expliquer le comportement de la suite (1.4) quand on la calcule avec MATLAB.
Exercice 1.11 On considère l’algorithme suivant pour calculer π : on génère n
couples {(xk, yk)} de nombres aléatoires dans l’intervalle [0, 1], puis on calcule
le nombre m de ceux qui se trouvent dans le premier quart du cercle unité.
Naturellement, π est la limite de la suite πn = 4m/n. Ecrire un programme
MATLAB pour calculer cette suite et observer comment évolue l’erreur quand
n augmente.
1 Ce qu’on ne peut ignorer
Exercice 1.2 Montrer que l’ensemble F(β, t, L, U ) contient exactement 2(β −
1)β
t−1 (U − L + 1) éléments.
Exercice 1.3 Montrer que i
i est un nombre réel, puis vérifier ce résultat avec
MATLAB ou Octave.
Exercice 1.4 Ecrire les instructions MATLAB pour construire une matrice
triangulaire supérieure (resp. inférieure) de dimension 10 ayant des 2 sur la diagonale principale et des −3 sur la seconde sur-diagonale (resp. sous-diagonale).
Exercice 1.5 Ecrire les instructions MATLAB permettant d’interchanger la
troisième et la septième ligne des matrices construites à l’Exercice 1.4, puis les
instructions permettant d’échanger la quatrième et la huitième colonne.
Exercice 1.6 Vérifier si les vecteurs suivants de R
4 sont linéairement indépendants :
v1 = [0 1 0 1], v2 = [1 2 3 4], v3 = [1 0 1 0], v4 = [0 0 1 1].
Exercice 1.7 Ecrire les fonctions suivantes, calculer leurs dérivées premières
et secondes ainsi que leurs primitives, en utilisant la toolbox symbolic de
MATLAB
f (x) =
√
x 2 + 1, g(x) = sin(x
3 ) + cosh(x).
Exercice 1.8 Pour un vecteur donné v de dimension n, construire avec la
commande c=poly(v) les n + 1 coefficients du polynôme p(x) =
poly n+1
k=1 c(k)x
n+1−k qui est égal à Π
n
k=1 (x − v(k)). En arithmétique exacte, on
devrait avoir v = roots(poly(v)). En fait, ce n’est pas le cas à cause des
erreurs d’arrondi. Le vérifier avec la commande roots(poly([1:n])), pour n
variant de 2 à 25.
Exercice 1.9 Ecrire un programme pour calculer la suite
I0 =
1
e
(e − 1),
In+1 = 1 − (n + 1)In, pour n = 0, 1, . . . .
Comparer le résultat numérique avec la limite exacte In → 0 pour n → ∞.
Exercice 1.10 Expliquer le comportement de la suite (1.4) quand on la calcule avec MATLAB.
Exercice 1.11 On considère l’algorithme suivant pour calculer π : on génère n
couples {(xk, yk)} de nombres aléatoires dans l’intervalle [0, 1], puis on calcule
le nombre m de ceux qui se trouvent dans le premier quart du cercle unité.
Naturellement, π est la limite de la suite πn = 4m/n. Ecrire un programme
MATLAB pour calculer cette suite et observer comment évolue l’erreur quand
n augmente.