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9 Solutions des exercices
Solution 6.9 On a
A
(k) = Q
(k+1) R
(k+1) et A
(k+1) = R
(k+1) Q
(k+1)
et donc
(Q
(k+1) )
T A
(k) Q
(k+1) = R
(k+1) Q
(k+1) = A
(k+1) .
Comme (Q
(k+1) )
T = (Q
(k+1) )
−1 on en déduit que la matrice A
(k) est semblable
à A
(k+1) pour tout k ≥ 0.
Solution 6.10 On peut utiliser la commande eig de la manière suivante :
[X,D]=eig(A), où X est la matrice dont les colonnes sont des vecteurs propres
unitaires de A et D est une matrice diagonale dont les éléments sont les valeurs propres de A. Pour les matrices A et B de l’Exercice 6.7, on exécute les
instructions suivantes :
A=[2 -1/2 0 -1/2; 0 4 0 2; -1/2 0 6 1/2; 0 0 1 9];
sort(eig(A))
ans =
2.0000
4.0268
5.8003
9.1728
B=[-5 0 1/2 1/2; 1/2 2 1/2 0; 0 1 0 1/2; 0 1/4 1/2 3];
sort(eig(B))
ans =
-4.9921
-0.3038
2.1666
3.1292
Les conclusions déduites de la Proposition 6.1 sont assez grossières.
9.7 Chapitre 7
Solution 7.1 Approchons la solution exacte y(t) =
1
2 [e
t − sin(t) − cos(t)]
du problème de Cauchy (7.80) par la méthode d’Euler explicite en utilisant
différentes valeurs de h : 1/2, 1/4, 1/8, . . . , 1/512. L’erreur associée est calculée
à l’aide des instructions suivantes :
t0 =0; y0 =0; T =1; f = inline ( ’ sin (t )+y ’ ,’t ’ ,’y ’);
y = inline ( ’ 0.5*( exp (t ) - sin( t) - cos ( t )) ’, ’t ’);
Nh =2;
for k =1:10;
[ tt ,u ]= feuler (f ,[t0 , T] ,y0 , Nh );
e (k )= abs( u( end) - feval (y , tt ( end ))); Nh =2* Nh ;
end
Appliquons maintenant la formule (1.12) pour estimer l’ordre de convergence :
p = log ( abs (e (1: end -1)./ e (2: end )))/ log (2); p (1:2: end )