326
9 Solutions des exercices
Solution 4.17 On calcule E(213) avec la formule composite de Simpson en
augmentant le nombre d’intervalles jusqu’à ce que la différence entre deux
approximations consécutives (divisée par la dernière valeur calculée) soit inférieure à 10
−11 :
f = inline ( ’ 1./(x .^5.*( exp ( 1 . 4 3 2./( 213*x )) -1))’ );
a =3.e -04; b =14.e -04;
i =1; err = 1; Iold = 0; while err >= 1.e -11
I =2.39 e -11* simpsonc (a ,b ,i , f );
err = abs (I - Iold )/ abs( I );
Iold = I;
i =i +1;
end
L’algorithme renvoie la valeur i = 59. Donc, avec 58 intervalles équidistribués,
on peut calculer l’intégrale E(213) avec 10 chiffres significatifs exacts. La formule de Gauss-Legendre donne le même résultat avec 53 intervalles. Noter
qu’il faudrait 1609 intervalles avec la formule composite du trapèze.
Solution 4.18 La fonction n’est pas assez régulière sur l’ensemble de l’intervalle pour qu’on puisse appliquer le résultat de convergence théorique (4.22).
On peut décomposer l’intégrale en la somme de deux intégrales sur les intervalles [0, 0.5] et [0.5, 1], sur lesquels la fonction est régulière (elle est polynomiale de degré 2 sur chaque sous-intervalle). Si on utilise la formule de Simpson
sur chaque intervalle, on peut même intégrer f de manière exacte.
9.5 Chapitre 5
Solution 5.1 Notons xn le nombre d’opérations algébriques (additions, soustractions et multiplications) nécessaire au calcul du déterminant d’une matrice
d’ordre n ≥ 2 avec la formule de Laplace (1.8). On a la relation de récurrence
suivante
xk − kxk−1 = 2k − 1,
k≥ 2,
avec x1 = 0. En multipliant les deux membres de cette égalité par 1/k!, on a
xk
k!
−
xk−1
(k − 1)!
=
2k − 1
k!
.
En sommant de 2 à n, on trouve la solution
xn = n!
n
k=2
2k − 1
k!
.
En rappelant que
∞
k=0
1
k!
= e, on a
n
k=2
2k − 1
k!
= 2
n−1
k=1
1
k!
−
n
k=2
1
k!
2.718,
9 Solutions des exercices
Solution 4.17 On calcule E(213) avec la formule composite de Simpson en
augmentant le nombre d’intervalles jusqu’à ce que la différence entre deux
approximations consécutives (divisée par la dernière valeur calculée) soit inférieure à 10
−11 :
f = inline ( ’ 1./(x .^5.*( exp ( 1 . 4 3 2./( 213*x )) -1))’ );
a =3.e -04; b =14.e -04;
i =1; err = 1; Iold = 0; while err >= 1.e -11
I =2.39 e -11* simpsonc (a ,b ,i , f );
err = abs (I - Iold )/ abs( I );
Iold = I;
i =i +1;
end
L’algorithme renvoie la valeur i = 59. Donc, avec 58 intervalles équidistribués,
on peut calculer l’intégrale E(213) avec 10 chiffres significatifs exacts. La formule de Gauss-Legendre donne le même résultat avec 53 intervalles. Noter
qu’il faudrait 1609 intervalles avec la formule composite du trapèze.
Solution 4.18 La fonction n’est pas assez régulière sur l’ensemble de l’intervalle pour qu’on puisse appliquer le résultat de convergence théorique (4.22).
On peut décomposer l’intégrale en la somme de deux intégrales sur les intervalles [0, 0.5] et [0.5, 1], sur lesquels la fonction est régulière (elle est polynomiale de degré 2 sur chaque sous-intervalle). Si on utilise la formule de Simpson
sur chaque intervalle, on peut même intégrer f de manière exacte.
9.5 Chapitre 5
Solution 5.1 Notons xn le nombre d’opérations algébriques (additions, soustractions et multiplications) nécessaire au calcul du déterminant d’une matrice
d’ordre n ≥ 2 avec la formule de Laplace (1.8). On a la relation de récurrence
suivante
xk − kxk−1 = 2k − 1,
k≥ 2,
avec x1 = 0. En multipliant les deux membres de cette égalité par 1/k!, on a
xk
k!
−
xk−1
(k − 1)!
=
2k − 1
k!
.
En sommant de 2 à n, on trouve la solution
xn = n!
n
k=2
2k − 1
k!
.
En rappelant que
∞
k=0
1
k!
= e, on a
n
k=2
2k − 1
k!
= 2
n−1
k=1
1
k!
−
n
k=2
1
k!
2.718,