9.4 Chapitre 4
325
Le résultat est I(20) = 104.86 en MATLAB, et I(20) = -30.1924 en Octave. On peut calculer l’intégrale avec la précision voulue en utilisant la formule
composite de Simpson, avec M ≥ 16. En effet, la dérivée quatrième de l’intégrande f (x) est bornée en valeur absolue par M 1.46 10
5 . Par conséquent,
on déduit de (4.22) que H < 0.066.
Solution 4.15 Le principe de l’extrapolation de Richardson est général et
peut être appliqué à toute formule de quadrature. En procédant comme dans
la Solution 4.10 et en rappelant que les formules de quadrature de Simpson et
de Gauss sont d’ordre 4, la formule (4.32) s’écrit
IR = I1 + (I1 − I2)/(H
4
2 /H
4
1 − 1).
On obtient pour la formule de Simpson
I1 = 1.19616568040561, I2 = 1.19628173356793 ⇒ IR = 1.19628947044542,
avec une erreur absolue I(f ) − IR = −1.4571e − 06 (on gagne deux ordres de
grandeur par rapport à I1 et un facteur 1/4 par rapport à I2). Avec la formule
de Gauss-Legendre, on obtient (les erreurs sont indiquées entre parenthèses)
I1 = 1.19637085545393 (−8.2842e − 05),
I2 = 1.19629221796844 (−4.2046e − 06),
IR = 1.19628697546941 (1.0379e − 06).
L’intérêt d’utiliser l’extrapolation de Richardson apparaît clairement.
Solution 4.16 On doit calculer avec la formule de Simpson les valeurs j(r, 0) =
σ/(ε0r
2 )
r
0
f (ξ)dξ avec r = k/10, pour k = 1, . . . , 10 et f (ξ) = e
ξ ξ
2 .
Pour estimer l’erreur d’intégration, on a besoin de la dérivée quatrième
f
(4) (ξ) = e
ξ (ξ
2 + 8ξ + 12). Le maximum de f
(4) dans l’intervalle d’intégration
[0, r] est atteint en ξ = r, puisque f
(4) est croissante. Pour un r donné, l’erreur
est inférieure à 10
−10 dès que H
4 < 10
−10 2880/(rf
(4) (r)). Pour r = k/10
avec k = 1, . . . , 10, les instructions suivantes permettent de calculer le nombre
minimum de sous-intervalles qui garantit que les inégalités précédentes sont
vérifiées :
r = [ 0 . 1: 0.1: 1]; maxf4 = exp (r ).*( r .^2+8* r +12);
H = ( 1 0 ^(- 1 0 ) *288 0./(r .* maxf4 ) ) . ^ (1/4) ; M = fix (r ./H )
M =
4
11
20
30
41
53
67
83
100
118
Les valeurs de j(r, 0) sont calculées en exécutant les instructions suivantes :
sigma =0.36; epsilon0 = 8.859e -12;
f = inline ( ’ exp (x ).* x .^2 ’ );
for k = 1:10
r = k /10;
j( k )= simpsonc (0 ,r ,M (k ) ,f );
j( k) = j (k )* sigma /( r ^2* epsilon0 );
end
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Le résultat est I(20) = 104.86 en MATLAB, et I(20) = -30.1924 en Octave. On peut calculer l’intégrale avec la précision voulue en utilisant la formule
composite de Simpson, avec M ≥ 16. En effet, la dérivée quatrième de l’intégrande f (x) est bornée en valeur absolue par M 1.46 10
5 . Par conséquent,
on déduit de (4.22) que H < 0.066.
Solution 4.15 Le principe de l’extrapolation de Richardson est général et
peut être appliqué à toute formule de quadrature. En procédant comme dans
la Solution 4.10 et en rappelant que les formules de quadrature de Simpson et
de Gauss sont d’ordre 4, la formule (4.32) s’écrit
IR = I1 + (I1 − I2)/(H
4
2 /H
4
1 − 1).
On obtient pour la formule de Simpson
I1 = 1.19616568040561, I2 = 1.19628173356793 ⇒ IR = 1.19628947044542,
avec une erreur absolue I(f ) − IR = −1.4571e − 06 (on gagne deux ordres de
grandeur par rapport à I1 et un facteur 1/4 par rapport à I2). Avec la formule
de Gauss-Legendre, on obtient (les erreurs sont indiquées entre parenthèses)
I1 = 1.19637085545393 (−8.2842e − 05),
I2 = 1.19629221796844 (−4.2046e − 06),
IR = 1.19628697546941 (1.0379e − 06).
L’intérêt d’utiliser l’extrapolation de Richardson apparaît clairement.
Solution 4.16 On doit calculer avec la formule de Simpson les valeurs j(r, 0) =
σ/(ε0r
2 )
r
0
f (ξ)dξ avec r = k/10, pour k = 1, . . . , 10 et f (ξ) = e
ξ ξ
2 .
Pour estimer l’erreur d’intégration, on a besoin de la dérivée quatrième
f
(4) (ξ) = e
ξ (ξ
2 + 8ξ + 12). Le maximum de f
(4) dans l’intervalle d’intégration
[0, r] est atteint en ξ = r, puisque f
(4) est croissante. Pour un r donné, l’erreur
est inférieure à 10
−10 dès que H
4 < 10
−10 2880/(rf
(4) (r)). Pour r = k/10
avec k = 1, . . . , 10, les instructions suivantes permettent de calculer le nombre
minimum de sous-intervalles qui garantit que les inégalités précédentes sont
vérifiées :
r = [ 0 . 1: 0.1: 1]; maxf4 = exp (r ).*( r .^2+8* r +12);
H = ( 1 0 ^(- 1 0 ) *288 0./(r .* maxf4 ) ) . ^ (1/4) ; M = fix (r ./H )
M =
4
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Les valeurs de j(r, 0) sont calculées en exécutant les instructions suivantes :
sigma =0.36; epsilon0 = 8.859e -12;
f = inline ( ’ exp (x ).* x .^2 ’ );
for k = 1:10
r = k /10;
j( k )= simpsonc (0 ,r ,M (k ) ,f );
j( k) = j (k )* sigma /( r ^2* epsilon0 );
end