9.2 Chapitre 2
313
il est impossible de trouver un intervalle ]a, b[ sur lequel f (a)f (b) < 0. Pour
γ = 3, en partant de [a, b] = [−3, −1], la méthode de dichotomie (Programme
2.1) converge en 34 itérations vers la valeur α = −1.85792082914850 (avec
f (α) −3.6 · 10
−12 ), en utilisant les instructions suivantes :
f = inline ( ’ cosh( x )+ cos( x ) -3’ ); a = -3; b = -1;
tol =1.e -10; nmax =200;
[ zero , res , niter ]= b i s ecti on(f ,a ,b , tol , nmax )
zero =
-1.8579
res =
-3.6872e-12
niter =
34
De même, en prenant a=1 et b=3, pour γ = 3 la méthode de dichotomie
converge en 34 itérations vers α = 1.8579208291485, avec f (α) −3.6877 ·
10
−12 .
Solution 2.2 On doit calculer les zéros de la fonction f (V ) = pV + aN
2 /V −
abN
3 /V
2 − pN b − kN T , où N est le nombre de molécules. En traçant le
graphe de f , on voit que cette fonction n’a qu’un zéro simple dans l’intervalle
]0.01, 0.06[ avec f (0.01) < 0 et f (0.06) > 0. On peut calculer ce zéro en
utilisant la méthode de dichotomie comme suit :
f = inline ( ’ 3 5 0 00 000*x + 4 0 1 000./x - 1 7 122 .7./x .^2 -1494500 ’ );
[ zero , res , niter ]= b i s ecti on(f ,0.01 ,0.06 ,1. e -12 ,100)
zero =
0.0427
res =
-6.3814e-05
niter =
35
Solution 2.3 L’inconnue ω est racine de la fonction f (ω) = s(1, ω) − 1 =
9.8[sinh(ω) − sin(ω)]/(2ω
2 ) − 1. On déduit de son graphe que f a un unique
zéro réel dans l’intervalle ]0.5, 1[. En partant de cet intervalle, la méthode de
dichotomie donne, en 15 itérations, la valeur ω = 0.61214447021484 avec la
tolérance voulue :
f = inline ([ ’ 9.8/2*( sinh ( omega ) - sin ( omega )) ’ ,...
’ ./ omega .^2 -1’ ]);
[ zero , res , niter ]= b i s ecti on(f ,0.5 ,1 ,1.e -05 ,100)
zero =
6.1214e-01
res =
3.1051e-06
niter =
15