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9 Solutions des exercices
Solution 1.5 On peut échanger les troisième et septième lignes de la matrice
avec les instructions : r=[1:10]; r(3)=7; r(7)=3; Lr=L(r,:). Remarquer que
le caractère : dans L(r,:) fait que toutes les colonnes de L sont parcourues
L(r,:)
dans l’ordre croissant habituel (du premier au dernier terme). Pour échanger
les quatrième et huitième colonnes on peut écrire c=[1:10]; c(8)=4; c(4)=8;
Lc=L(:,c). Des instructions analogues peuvent être utilisées pour la matrice
triangulaire supérieure.
Solution 1.6 On peut définir la matrice A = [v1;v2;v3;v4] où v1, v2, v3
et v4 sont 4 vecteurs lignes donnés. Ils sont linéairement indépendants ssi le
déterminant de A est différent de 0, ce qui n’est pas vrai dans notre cas.
Solution 1.7 Les deux fonctions considérées f et g s’expriment ainsi sous
forme symbolique :
syms x
f=sqrt(x^2+1); pretty(f)
(x
2 +1)
1/2
g=sin(x^3)+cosh(x); pretty(g)
sin(x
3 ) + cosh(x)
La commande pretty(f) affiche l’expression symbolique f dans un format
pretty
qui ressemble à l’écriture mathématique usuelle. L’expression symbolique de
la dérivée première, de la dérivée seconde et de l’intégrale de f s’obtiennent
alors avec les instructions suivantes :
diff(f,x)
ans =
1/(x^2+1)^(1/2)*x
diff(f,x,2)
ans =
-1/(x^2+1)^(3/2)*x^2+1/(x^2+1)^(1/2)
int(f,x)
ans =
1/2*x*(x^2+1)^(1/2)+1/2*asinh(x)
On peut utiliser des instructions similaires pour g.
Solution 1.8 La précision des racines calculées se dégrade quand le degré du
polynôme augmente. Cette expérience montre que le calcul précis des racines
d’un polynôme de degré élevé peut s’avérer délicat.
Solution 1.9 Voici un programme pour calculer la suite :
function I= sequence ( n)
I = zeros (n +2 ,1); I (1) = ( exp (1) -1)/exp (1);
for i = 0:n, I(i+2) = 1 - (i+1)* I (i +1); end
La suite obtenue avec ce programme ne tend pas vers zéro quand n tend vers
l’infini : son signe alterne et elle diverge. Ce comportement est une conséquence
directe de la propagation des erreurs d’arrondi.
9 Solutions des exercices
Solution 1.5 On peut échanger les troisième et septième lignes de la matrice
avec les instructions : r=[1:10]; r(3)=7; r(7)=3; Lr=L(r,:). Remarquer que
le caractère : dans L(r,:) fait que toutes les colonnes de L sont parcourues
L(r,:)
dans l’ordre croissant habituel (du premier au dernier terme). Pour échanger
les quatrième et huitième colonnes on peut écrire c=[1:10]; c(8)=4; c(4)=8;
Lc=L(:,c). Des instructions analogues peuvent être utilisées pour la matrice
triangulaire supérieure.
Solution 1.6 On peut définir la matrice A = [v1;v2;v3;v4] où v1, v2, v3
et v4 sont 4 vecteurs lignes donnés. Ils sont linéairement indépendants ssi le
déterminant de A est différent de 0, ce qui n’est pas vrai dans notre cas.
Solution 1.7 Les deux fonctions considérées f et g s’expriment ainsi sous
forme symbolique :
syms x
f=sqrt(x^2+1); pretty(f)
(x
2 +1)
1/2
g=sin(x^3)+cosh(x); pretty(g)
sin(x
3 ) + cosh(x)
La commande pretty(f) affiche l’expression symbolique f dans un format
pretty
qui ressemble à l’écriture mathématique usuelle. L’expression symbolique de
la dérivée première, de la dérivée seconde et de l’intégrale de f s’obtiennent
alors avec les instructions suivantes :
diff(f,x)
ans =
1/(x^2+1)^(1/2)*x
diff(f,x,2)
ans =
-1/(x^2+1)^(3/2)*x^2+1/(x^2+1)^(1/2)
int(f,x)
ans =
1/2*x*(x^2+1)^(1/2)+1/2*asinh(x)
On peut utiliser des instructions similaires pour g.
Solution 1.8 La précision des racines calculées se dégrade quand le degré du
polynôme augmente. Cette expérience montre que le calcul précis des racines
d’un polynôme de degré élevé peut s’avérer délicat.
Solution 1.9 Voici un programme pour calculer la suite :
function I= sequence ( n)
I = zeros (n +2 ,1); I (1) = ( exp (1) -1)/exp (1);
for i = 0:n, I(i+2) = 1 - (i+1)* I (i +1); end
La suite obtenue avec ce programme ne tend pas vers zéro quand n tend vers
l’infini : son signe alterne et elle diverge. Ce comportement est une conséquence
directe de la propagation des erreurs d’arrondi.