1.4 Matrices
15
ans =
Inf
Inf
Inf
Inf
1.4.1 Vecteurs
Dans cet ouvrage, les vecteurs sont notés en caractères gras ; plus précisément, v désigne un vecteur colonne dont la i-ème composante est
notée v i . Quand toutes les composantes sont réelles, on écrit v ∈ R
n .
Pour définir un vecteur colonne, on doit indiquer entre crochet ses
composantes séparées d’un point-virgule, tandis que pour un vecteur
ligne, il suffit d’écrire ses composantes séparées par des espaces ou des
virgules. Par exemple, les instructions v = [1;2;3] et w = [1 2 3] définissent le vecteur colonne v et le vecteur ligne w, tous les deux de
dimension 3. La commande zeros(n,1) (resp. zeros(1,n)) définit un
vecteur colonne (resp. ligne), qu’on notera 0, de dimension n et de composantes nulles. De même, la commande ones(n,1) définit le vecteur ones
colonne, noté 1, dont les composantes sont toutes égales à 1.
Un ensemble de vecteurs {y 1 , . . ., y m } est dit linéairement indépendant si la relation
α 1 y 1 + . . . + α m y m = 0
implique que tous les coefficients α 1 , . . . , α m sont nuls. Un n-uple B =
(y 1 , . . . , y n ) de n vecteurs linéairement indépendants de R
n (ou C
n ) est
une base de R
n (ou C
n ). Autrement dit, tout vecteur w de R
n peut être
écrit
w =
n
k=1
w k y k ,
et les coefficients {w k } sont uniques. Ces derniers sont appelés les composantes de w dans la base B. Par exemple, la base canonique de R
n est
donnée par (e 1 , . . . , e n ), où e i est le vecteur dont la i-ème composante
est égal à 1, et toutes les autres sont nulles. Bien que n’étant pas la seule
base de R
n , la base canonique est celle qu’on utilise en général.
Le produit scalaire de deux vecteurs v, w ∈ R
n est défini par
(v, w) = w
T
v =
n
k=1
v k w k ,
{v k } et {w k } étant les composantes de v et w, respectivement. La commande MATLAB correspondante est w’*v, où l’apostrophe désigne la
transposition du vecteur, ou encore dot(v,w). Pour un vecteur v à com- dot
v’
posantes complexes, v’ désigne son transconjugué v
H , qui est le vecteur
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ans =
Inf
Inf
Inf
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1.4.1 Vecteurs
Dans cet ouvrage, les vecteurs sont notés en caractères gras ; plus précisément, v désigne un vecteur colonne dont la i-ème composante est
notée v i . Quand toutes les composantes sont réelles, on écrit v ∈ R
n .
Pour définir un vecteur colonne, on doit indiquer entre crochet ses
composantes séparées d’un point-virgule, tandis que pour un vecteur
ligne, il suffit d’écrire ses composantes séparées par des espaces ou des
virgules. Par exemple, les instructions v = [1;2;3] et w = [1 2 3] définissent le vecteur colonne v et le vecteur ligne w, tous les deux de
dimension 3. La commande zeros(n,1) (resp. zeros(1,n)) définit un
vecteur colonne (resp. ligne), qu’on notera 0, de dimension n et de composantes nulles. De même, la commande ones(n,1) définit le vecteur ones
colonne, noté 1, dont les composantes sont toutes égales à 1.
Un ensemble de vecteurs {y 1 , . . ., y m } est dit linéairement indépendant si la relation
α 1 y 1 + . . . + α m y m = 0
implique que tous les coefficients α 1 , . . . , α m sont nuls. Un n-uple B =
(y 1 , . . . , y n ) de n vecteurs linéairement indépendants de R
n (ou C
n ) est
une base de R
n (ou C
n ). Autrement dit, tout vecteur w de R
n peut être
écrit
w =
n
k=1
w k y k ,
et les coefficients {w k } sont uniques. Ces derniers sont appelés les composantes de w dans la base B. Par exemple, la base canonique de R
n est
donnée par (e 1 , . . . , e n ), où e i est le vecteur dont la i-ème composante
est égal à 1, et toutes les autres sont nulles. Bien que n’étant pas la seule
base de R
n , la base canonique est celle qu’on utilise en général.
Le produit scalaire de deux vecteurs v, w ∈ R
n est défini par
(v, w) = w
T
v =
n
k=1
v k w k ,
{v k } et {w k } étant les composantes de v et w, respectivement. La commande MATLAB correspondante est w’*v, où l’apostrophe désigne la
transposition du vecteur, ou encore dot(v,w). Pour un vecteur v à com- dot
v’
posantes complexes, v’ désigne son transconjugué v
H , qui est le vecteur