8.2 Approximation de problèmes aux limites
265
Ω
∂Ω
n(x)
Figure 8.2. Un domaine Ω bidimensionnel et la normale sortante à ∂Ω
On peut montrer que si f et g sont deux fonctions continues et si
la frontière ∂Ω du domaine Ω est assez régulière, alors le problème de
Dirichlet (8.11) admet une unique solution (alors que la solution du
problème de Neumann n’est unique qu’à une constante additive près).
Les méthodes numériques utilisées pour résoudre (8.11) sont basées
sur les mêmes principes que celles utilisées pour les problèmes monodimensionnels. C’est pourquoi nous nous concentrerons sur la résolution
du problème monodimensionnel (8.10), que ce soit par différences finies
(Section 8.2.1) ou par éléments finis (Section 8.2.3).
Nous introduisons pour cela une partition de [a, b] en intervalles I j =
[x j , x j+1 ] pour j = 0, . . ., N avec x 0 = a et x N+1 = b. Nous supposons
pour simplifier que tous ces intervalles ont même longueur h = (b −
a)/(N + 1).
8.2.1 Approximation par différences finies du problème de
Poisson monodimensionnel
L’équation différentielle (8.10) doit être satisfaite en particulier aux
points x j (que nous appellerons noeuds à partir de maintenant) intérieurs à ]a, b[, c’est-à-dire
−u
(x j ) = f(x j ),
j = 1, . . ., N.
On peut approcher cet ensemble de N équations en remplaçant la
dérivée seconde par une formule de différences finies, comme on l’a fait
au Chapitre 4 pour les dérivées premières. Par exemple, si u : [a, b] → R
est une fonction assez régulière au voisinage d’un point ¯
x ∈]a, b[, alors la
quantité
δ
2 u(¯ x) =
u(¯ x + h) − 2u(¯ x) + u(¯ x − h)
h 2
(8.12)
est une approximation de u
(¯ x) d’ordre 2 par rapport à h (voir l’Exercice
8.3). Ceci suggère d’approcher ainsi le problème (8.10) : trouver {u j }
N
j=1
tels que
−
u j+1 − 2u j + u j−1
h 2
= f(x j ),
j = 1, . . ., N
(8.13)