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7 Equations différentielles ordinaires
Exercice 7.8 Montrer que la méthode de Heun (7.60) est absolument stable
si −2
Exercice 7.10 Montrer l’inégalité (7.39).
Exercice 7.11 Montrer l’inégalité (7.40).
Exercice 7.12 Vérifier la consistance de la méthode RK3 (7.54). L’implémenter dans un programme MATLAB pour résoudre le problème de Cauchy
(7.80) et vérifier expérimentalement que la méthode est d’ordre 3 en h. Les
méthodes (7.60) et (7.54) sont à la base du programme MATLAB ode23.
Exercice 7.13 Montrer que la méthode RK3 (7.54) est absolument stable si
−2.5
u
∗
n+1 = un + hf (tn, un), un+1 = un + hf (tn+1, u
∗
n+1 ).
(7.82)
Déterminer la condition sur h pour que cette méthode soit absolument stable.
Exercice 7.15 (Thermodynamique) Résoudre l’équation (7.1) par les méthodes de Crank-Nicolson et de Heun quand le corps est un cube de coté
1 m et de masse 1 kg. On posera T0 = 180K, Te = 200K, γ = 0.5 et C =
100J/(kg/K). Comparer les résultats obtenus en prenant h = 20 et h = 10,
pour t allant de 0 à 200 secondes.
Exercice 7.16 Utiliser MATLAB pour calculer la région de stabilité absolue
de la méthode de Heun.
Exercice 7.17 Résoudre le problème de Cauchy (7.16) par la méthode de
Heun et vérifier son ordre.
Exercice 7.18 Le déplacement x(t) d’un système oscillant composé d’une
masse et d’un ressort, soumis à une force de frottement proportionnelle à la
vitesse, est décrit par l’équation différentielle du second ordre x
+5x
+6x = 0.
La résoudre avec la méthode de Heun, en posant x(0) = 1 et x
(0) = 0, pour
t ∈ [0, 5].
Exercice 7.19 Le déplacement d’un pendule de Foucault sans frottement est
décrit par le système de deux équations
x
− 2ω sin(Ψ )y
+ k
2 x = 0, y
+ 2ω cos(Ψ )x
+ k
2 y = 0,
où Ψ est la latitude de l’endroit où le pendule est situé, ω = 7.29 · 10
−5 sec
−1
est la vitesse angulaire de la Terre, k =
g/l avec g = 9.8 m/sec
2 et l est
la longueur du pendule. Appliquer la méthode d’Euler explicite pour calculer
x = x(t) et y = y(t) pour t allant de 0 à 300 secondes et Ψ = π/4.
7 Equations différentielles ordinaires
Exercice 7.8 Montrer que la méthode de Heun (7.60) est absolument stable
si −2
Exercice 7.10 Montrer l’inégalité (7.39).
Exercice 7.11 Montrer l’inégalité (7.40).
Exercice 7.12 Vérifier la consistance de la méthode RK3 (7.54). L’implémenter dans un programme MATLAB pour résoudre le problème de Cauchy
(7.80) et vérifier expérimentalement que la méthode est d’ordre 3 en h. Les
méthodes (7.60) et (7.54) sont à la base du programme MATLAB ode23.
Exercice 7.13 Montrer que la méthode RK3 (7.54) est absolument stable si
−2.5
u
∗
n+1 = un + hf (tn, un), un+1 = un + hf (tn+1, u
∗
n+1 ).
(7.82)
Déterminer la condition sur h pour que cette méthode soit absolument stable.
Exercice 7.15 (Thermodynamique) Résoudre l’équation (7.1) par les méthodes de Crank-Nicolson et de Heun quand le corps est un cube de coté
1 m et de masse 1 kg. On posera T0 = 180K, Te = 200K, γ = 0.5 et C =
100J/(kg/K). Comparer les résultats obtenus en prenant h = 20 et h = 10,
pour t allant de 0 à 200 secondes.
Exercice 7.16 Utiliser MATLAB pour calculer la région de stabilité absolue
de la méthode de Heun.
Exercice 7.17 Résoudre le problème de Cauchy (7.16) par la méthode de
Heun et vérifier son ordre.
Exercice 7.18 Le déplacement x(t) d’un système oscillant composé d’une
masse et d’un ressort, soumis à une force de frottement proportionnelle à la
vitesse, est décrit par l’équation différentielle du second ordre x
+5x
+6x = 0.
La résoudre avec la méthode de Heun, en posant x(0) = 1 et x
(0) = 0, pour
t ∈ [0, 5].
Exercice 7.19 Le déplacement d’un pendule de Foucault sans frottement est
décrit par le système de deux équations
x
− 2ω sin(Ψ )y
+ k
2 x = 0, y
+ 2ω cos(Ψ )x
+ k
2 y = 0,
où Ψ est la latitude de l’endroit où le pendule est situé, ω = 7.29 · 10
−5 sec
−1
est la vitesse angulaire de la Terre, k =
g/l avec g = 9.8 m/sec
2 et l est
la longueur du pendule. Appliquer la méthode d’Euler explicite pour calculer
x = x(t) et y = y(t) pour t allant de 0 à 300 secondes et Ψ = π/4.