7.12 Exercices
257
7.11 Ce qu’on ne vous a pas dit
Pour une construction détaillée de la famille des méthodes de RungeKutta nous renvoyons à [But87], [Lam91] et [QSS07, Chapitre 11].
Pour la construction et l’analyse des méthodes multi-pas, voir [Arn73]
et [Lam91].
7.12 Exercices
Exercice 7.1 Utiliser les méthodes d’Euler implicite et explicite pour résoudre le problème de Cauchy
y
= sin(t) + y, t ∈]0, 1], avec y(0) = 0,
(7.80)
et vérifier que dans les deux cas la convergence est d’ordre 1.
Exercice 7.2 On considère le problème de Cauchy
y
= −te
−y , t ∈]0, 1], avec y(0) = 0.
(7.81)
Appliquer la méthode d’Euler explicite avec h = 1/100 et estimer le nombre
de chiffres significatifs exacts de la solution approchée à t = 1 (utiliser le fait
que la solution exacte est comprise entre −1 et 0).
Exercice 7.3 La méthode d’Euler implicite appliquée au problème (7.81) nécessite à chaque itération la résolution de l’équation non linéaire : un+1 =
un − htn+1e
−u n+1 = φ(un+1). La solution un+1 peut être obtenue avec la méthode de point fixe : pour k = 0, 1, . . . , on calcule u
(k+1)
n+1
= φ(u
(k)
n+1 ), avec
u
(0)
n+1 = un. Trouver la condition sur h pour que cette méthode converge.
Exercice 7.4 Reprendre l’Exercice 7.1 pour la méthode de Crank-Nicolson.
Exercice 7.5 Vérifier que la méthode de Crank-Nicolson peut être obtenue
à partir de la forme intégrée du problème de Cauchy (7.5)
y(t) − y0 =
t
t 0
f (τ, y(τ ))dτ
en approchant l’intégrale par la formule du trapèze (4.19).
Exercice 7.6 Résoudre le problème modèle (7.28) avec λ = −1 + i par la méthode d’Euler explicite et trouver les valeurs de h correspondant à la stabilité
absolue.
Exercice 7.7 Montrer que la méthode de Heun définie par (7.60) est consistante à l’ordre deux. L’implémenter dans un programme MATLAB pour
résoudre le problème de Cauchy (7.80) et vérifier expérimentalement que la
convergence est d’ordre 2 en h.
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7.11 Ce qu’on ne vous a pas dit
Pour une construction détaillée de la famille des méthodes de RungeKutta nous renvoyons à [But87], [Lam91] et [QSS07, Chapitre 11].
Pour la construction et l’analyse des méthodes multi-pas, voir [Arn73]
et [Lam91].
7.12 Exercices
Exercice 7.1 Utiliser les méthodes d’Euler implicite et explicite pour résoudre le problème de Cauchy
y
= sin(t) + y, t ∈]0, 1], avec y(0) = 0,
(7.80)
et vérifier que dans les deux cas la convergence est d’ordre 1.
Exercice 7.2 On considère le problème de Cauchy
y
= −te
−y , t ∈]0, 1], avec y(0) = 0.
(7.81)
Appliquer la méthode d’Euler explicite avec h = 1/100 et estimer le nombre
de chiffres significatifs exacts de la solution approchée à t = 1 (utiliser le fait
que la solution exacte est comprise entre −1 et 0).
Exercice 7.3 La méthode d’Euler implicite appliquée au problème (7.81) nécessite à chaque itération la résolution de l’équation non linéaire : un+1 =
un − htn+1e
−u n+1 = φ(un+1). La solution un+1 peut être obtenue avec la méthode de point fixe : pour k = 0, 1, . . . , on calcule u
(k+1)
n+1
= φ(u
(k)
n+1 ), avec
u
(0)
n+1 = un. Trouver la condition sur h pour que cette méthode converge.
Exercice 7.4 Reprendre l’Exercice 7.1 pour la méthode de Crank-Nicolson.
Exercice 7.5 Vérifier que la méthode de Crank-Nicolson peut être obtenue
à partir de la forme intégrée du problème de Cauchy (7.5)
y(t) − y0 =
t
t 0
f (τ, y(τ ))dτ
en approchant l’intégrale par la formule du trapèze (4.19).
Exercice 7.6 Résoudre le problème modèle (7.28) avec λ = −1 + i par la méthode d’Euler explicite et trouver les valeurs de h correspondant à la stabilité
absolue.
Exercice 7.7 Montrer que la méthode de Heun définie par (7.60) est consistante à l’ordre deux. L’implémenter dans un programme MATLAB pour
résoudre le problème de Cauchy (7.80) et vérifier expérimentalement que la
convergence est d’ordre 2 en h.