7.10 Quelques exemples
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1
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−6
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−2
0
2
4
6
x 10
8
y1
y2
t
0
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2
3
4
5
6
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
y1
y2
t
Figure 7.23. Solutions du problème de l’Exemple 7.10 pour h = 0.0207 (à
gauche) et h = 0.0194 (à droite). Dans le premier cas, la condition h < 2/|λ1| =
0.02 est violée et la méthode est instable. Remarquer que les échelles sont très
différentes sur les deux graphiques
Les constantes C1 et C2 sont obtenues avec les conditions initiales
C1 =
λ2y1,0 − y2,0
λ2 − λ1
,
C2 =
y2,0 − λ1y1,0
λ2 − λ1
.
D’après les remarques faites précédemment, quand on résout un tel système
avec une méthode explicite, le pas d’intégration ne dépend que de la valeur
propre de plus grand module, λ1. Vérifions ceci expérimentalement en utilisant la méthode d’Euler explicite et en choisissant λ1 = −100, λ2 = −1,
y1,0 = y2,0 = 1. Sur la Figure 7.23, on trace les solutions calculées en violant
(à gauche) ou en respectant (à droite) la condition de stabilité h < 1/50.
La définition d’un problème raide peut être étendue, avec quelques
précautions, au cas non linéaire (voir par exemple [QSS07, Chapitre 11]).
Un des problèmes non linéaires raides les plus étudiés est l’équation de
Van der Pol
d
2 x
dt 2 = μ(1 − x
2 )
dx
dt
− x,
(7.78)
proposée en 1920 et utilisée dans l’étude de circuits comportant des
valves thermo-ioniques, des tubes à vide comme dans les téléviseurs cathodiques ou des magnétrons comme dans les fours à micro-ondes.
En posant y = (x, z)
T , avec z = dx/dt, (7.78) est équivalent au
système non linéaire du premier ordre
y
= F(t, y) =
z
−x + μ(1 − x
2 )z
.
(7.79)
Ce système devient de plus en plus raide quand on augmente le paramètre μ. On trouve en effet dans la solution deux composantes dont la
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−6
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y1
y2
t
0
1
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3
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5
6
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
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y1
y2
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Figure 7.23. Solutions du problème de l’Exemple 7.10 pour h = 0.0207 (à
gauche) et h = 0.0194 (à droite). Dans le premier cas, la condition h < 2/|λ1| =
0.02 est violée et la méthode est instable. Remarquer que les échelles sont très
différentes sur les deux graphiques
Les constantes C1 et C2 sont obtenues avec les conditions initiales
C1 =
λ2y1,0 − y2,0
λ2 − λ1
,
C2 =
y2,0 − λ1y1,0
λ2 − λ1
.
D’après les remarques faites précédemment, quand on résout un tel système
avec une méthode explicite, le pas d’intégration ne dépend que de la valeur
propre de plus grand module, λ1. Vérifions ceci expérimentalement en utilisant la méthode d’Euler explicite et en choisissant λ1 = −100, λ2 = −1,
y1,0 = y2,0 = 1. Sur la Figure 7.23, on trace les solutions calculées en violant
(à gauche) ou en respectant (à droite) la condition de stabilité h < 1/50.
La définition d’un problème raide peut être étendue, avec quelques
précautions, au cas non linéaire (voir par exemple [QSS07, Chapitre 11]).
Un des problèmes non linéaires raides les plus étudiés est l’équation de
Van der Pol
d
2 x
dt 2 = μ(1 − x
2 )
dx
dt
− x,
(7.78)
proposée en 1920 et utilisée dans l’étude de circuits comportant des
valves thermo-ioniques, des tubes à vide comme dans les téléviseurs cathodiques ou des magnétrons comme dans les fours à micro-ondes.
En posant y = (x, z)
T , avec z = dx/dt, (7.78) est équivalent au
système non linéaire du premier ordre
y
= F(t, y) =
z
−x + μ(1 − x
2 )z
.
(7.79)
Ce système devient de plus en plus raide quand on augmente le paramètre μ. On trouve en effet dans la solution deux composantes dont la