254
7 Equations différentielles ordinaires
0
2
4
6
8
10
−5000
0
2500
−2500
5000
0
2
4
6
8
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Figure 7.22. Solutions obtenues avec la méthode (7.55) pour le problème
(7.73) en violant la condition de stabilité (h = 0.0055, à gauche) et en la
respectant (h = 0.0054, à droite)
où A a n valeurs propres distinctes λ j , j = 1, . . . , n, avec Re(λ j ) < 0,
j = 1, . . ., n, est raide si
r s =
max j |Re(λ j )|
min j |Re(λ j )|
1.
La solution exacte de (7.75) est
y(t) =
n
j=1
C j e
λjt
v j + ψ(t),
(7.76)
où C 1 , . . . , C n sont n constantes, {v j } est une base constituée par les
vecteurs propres de A, et ψ(t) est une solution particulière de l’équation
différentielle. Si r s 1, on constate à nouveau la présence dans la solution y de composantes qui tendent vers zéro avec des vitesses différentes.
La composante qui tend le plus vite vers zéro quand t tend vers l’infini
(celle qui est associée à la valeur propre de plus grand module) est celle
qui impose la restriction la plus sévère sur le pas d’intégration, à moins
bien sûr d’utiliser une méthode inconditionnellement absolument stable.
Exemple 7.10 Considérons le système y
(t) = Ay(t) pour t ∈]0, 100[ avec
une condition initiale y(0) = y0, où y = (y1, y2)
T , y0 = (y1,0, y2,0)
T et
A =
⎡
⎣
0
1
−λ1λ2 λ1 + λ2
⎤
⎦ ,
où λ1 et λ2 sont deux réels négatifs distincts tels que |λ1| | |λ2|. La matrice
A a des valeurs propres λ1 et λ2 et des vecteurs propres v1 = (1, λ1)
T , v2 =
(1, λ2)
T . D’après (7.76), la solution exacte du système est
y(t) =
⎛
⎝
C1e
λ 1 t + C2e
λ 2 t
C1λ1e
λ 1 t + C2λ2e
λ 2 t
⎞
⎠ .
(7.77)
7 Equations différentielles ordinaires
0
2
4
6
8
10
−5000
0
2500
−2500
5000
0
2
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0
1
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3
4
5
6
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8
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Figure 7.22. Solutions obtenues avec la méthode (7.55) pour le problème
(7.73) en violant la condition de stabilité (h = 0.0055, à gauche) et en la
respectant (h = 0.0054, à droite)
où A a n valeurs propres distinctes λ j , j = 1, . . . , n, avec Re(λ j ) < 0,
j = 1, . . ., n, est raide si
r s =
max j |Re(λ j )|
min j |Re(λ j )|
1.
La solution exacte de (7.75) est
y(t) =
n
j=1
C j e
λjt
v j + ψ(t),
(7.76)
où C 1 , . . . , C n sont n constantes, {v j } est une base constituée par les
vecteurs propres de A, et ψ(t) est une solution particulière de l’équation
différentielle. Si r s 1, on constate à nouveau la présence dans la solution y de composantes qui tendent vers zéro avec des vitesses différentes.
La composante qui tend le plus vite vers zéro quand t tend vers l’infini
(celle qui est associée à la valeur propre de plus grand module) est celle
qui impose la restriction la plus sévère sur le pas d’intégration, à moins
bien sûr d’utiliser une méthode inconditionnellement absolument stable.
Exemple 7.10 Considérons le système y
(t) = Ay(t) pour t ∈]0, 100[ avec
une condition initiale y(0) = y0, où y = (y1, y2)
T , y0 = (y1,0, y2,0)
T et
A =
⎡
⎣
0
1
−λ1λ2 λ1 + λ2
⎤
⎦ ,
où λ1 et λ2 sont deux réels négatifs distincts tels que |λ1| | |λ2|. La matrice
A a des valeurs propres λ1 et λ2 et des vecteurs propres v1 = (1, λ1)
T , v2 =
(1, λ2)
T . D’après (7.76), la solution exacte du système est
y(t) =
⎛
⎝
C1e
λ 1 t + C2e
λ 2 t
C1λ1e
λ 1 t + C2λ2e
λ 2 t
⎞
⎠ .
(7.77)