7.3 Méthodes d’Euler
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dans (7.9) représente l’erreur engendrée par une seule itération de la
méthode d’Euler explicite, tandis que le terme u
∗
n − u n représente la
propagation de t n−1 à t n de l’erreur accumulée au temps précédent t n−1 .
La méthode converge à condition que ces deux termes tendent vers zéro
quand h → 0. En supposant que la dérivée seconde de y existe et est
continue, il existe d’après (4.6) ξ n ∈]t n−1 , t n [ tel que
y n − u
∗
n =
h
2
2
y
(ξ n ).
(7.10)
La quantité
τ n (h) = (y n − u
∗
n )/h
est appelée erreur de troncature locale de la méthode d’Euler explicite.
De manière plus générale, l’erreur de troncature locale d’une méthode
représente (à un facteur 1/h près) l’erreur qu’on obtient en insérant la
solution exacte dans le schéma numérique. L’erreur de troncature globale
(ou plus simplement l’erreur de troncature) est définie par
τ (h) = max
n=0,...,Nh
|τ n (h)|.
D’après (7.10), l’erreur de troncature de la méthode d’Euler explicite
est de la forme
τ (h) = M h/2,
(7.11)
où M = max t∈[t0,T ] |y
(t)|.
On en déduit que lim h→0 τ (h) = 0. Quand cette propriété est vérifiée,
on dit que la méthode est consistante. On dit qu’elle est consistante
d’ordre p si τ (h) = O(h
p ) pour un certain p ≥ 1.
Considérons à présent l’autre terme dans (7.9). On a
u
∗
n − u n = e n−1 + h [f(t n−1 , y n−1 ) − f(t n−1 , u n−1 )] .
(7.12)
Comme f est lipschitzienne par rapport à sa deuxième variable, on a
|u
∗
n − u n | ≤ (1 + hL)|e n−1 |.
Si e 0 = 0, les relations précédentes donnent
|e n | ≤ |y n − u
∗
n | + |u
∗
n − u n |
≤ h|τ n (h)| + (1 + hL)|e n−1 |
≤
1 + (1 + hL) + . . . + (1 + hL)
n−1
hτ (h)
=
(1 + hL)
n
− 1
L
τ (h) ≤
e
L(tn−t0)
− 1
L
τ (h).