6.4 Comment calculer le décalage
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6.4 Comment calculer le décalage
Pour que la méthode de la puissance avec décalage soit efficace, il faut
localiser (plus ou moins précisément) les valeurs propres de A dans le
plan complexe. Commençons par quelques définitions.
Soit A une matrice carrée d’ordre n. Les disques de Gershgorin C
(r)
i
et C
(c)
i
associés à la i-ème ligne et à la i-ème colonne sont respectivement
définis par
C
(r)
i
= {z ∈ C : |z − a ii | ≤
n
j=1,j =i
|a ij |},
C
(c)
i
= {z ∈ C : |z − a ii | ≤
n
j=1,j =i
|a ji |}.
C
(r)
i
est le disque de la i-ème ligne et C
(c)
i
celui de la i-ème colonne.
On peut visualiser avec le Programme 6.3 dans deux fenêtres (ouvertes avec la commande figure) les disques des lignes et des colonnes figure
d’une matrice. La commande hold on permet de superposer les images hold on
suivantes (dans notre cas, les différents disques qui sont calculés les uns
après les autres). Cette commande est annulée par la commande hold hold off
off. Les commandes title, xlabel et ylabel permettent de visualiser title
xlabel
ylabel
le titre de la figure et la légende des axes.
La commande patch sert à afficher les disques en couleurs, et la
patch
axis
commande axis permet de choisir l’échelle sur les axes x et y pour le
graphe courant.
Programme 6.3. gershcircles : disques de Gershgorin
function g e r s h circ les( A)
% G E R S HC IRCL ES trace les disques de G e r s hgor in
% G E R S HC IRCL ES( A) trace les disques de G e r s hgorin
% pour la matrice carrée A et sa t r a ns posée.
n = size ( A );
if n (1) ~= n (2)
error ( ’ Matrices carrées s e u l emen t’ );
else
n =n (1); circler = zeros (n ,201); circlec = circler ;
end
center = diag (A );
radiic = sum( abs (A - diag ( center )));
radiir = sum( abs (A ’ - diag ( center )));
one = ones (1 ,201); cosisin = exp ( i *[0: pi /100:2* pi ]);
figure (1); title ( ’ Disques des lignes ’);
xlabel ( ’ Re ’ ); ylabel ( ’Im ’ );
figure (2); title ( ’ Disques des colonnes ’);
xlabel ( ’ Re ’ ); ylabel ( ’Im ’ );
for k = 1:n
circlec (k ,:) = center ( k )* one + radiic (k )* cosisin ;