192
6 Valeurs propres et vecteurs propres
0
10
20
30
40
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
−15
−5
5
15
25
35
Figure 6.3. Valeurs de (y
(k) )
T x1/(y
(k) x1) (à gauche) et de λ
(k) (à
droite), pour k = 1, . . . , 44
Exemple 6.3 Considérons la matrice A(α) de l’Exemple 6.1, avec α = 16.
Un vecteur propre x1 de norme 1 associé à λ1 est (1/2, 1/2, 1/2, 1/2)
T . Choisissons (à dessein !) le vecteur initial (2, −2, 3, −3)
T , qui est orthogonal à x1.
On indique sur la Figure 6.3 la quantité cos(θ
(k) ) = (y
(k) )
T x1/(y
(k) x1).
On voit qu’après environ 30 itérations de la méthode de la puissance, le cosinus
tend vers −1 et l’angle vers π, tandis que la suite λ
(k) approche λ1 = 34. Avec
la méthode de la puissance, on a donc construit, grâce aux erreurs d’arrondi,
une suite de vecteurs y
(k) dont les composantes selon x1 sont de plus en plus
significatives.
Il est possible de montrer que la méthode de la puissance converge
même si λ 1 est une racine multiple de p A (λ). En revanche, elle ne
converge pas quand il existe deux valeurs propres distinctes de même
module maximal. Dans ce cas, la suite λ
(k) oscille entre deux valeurs et
ne converge vers aucune limite.
Voir Exercices 6.1–6.3.
6.3 Généralisation de la méthode de la puissance
Une première généralisation de la méthode de la puissance consiste à
l’appliquer à l’inverse de la matrice A (à condition bien sûr que A soit
inversible !). Comme les valeurs propres de A
−1 sont les inverses de celles
de A, la méthode de la puissance nous permet alors d’approcher la valeur
propre de A de plus petit module. C’est la méthode de la puissance
inverse :
étant donné un vecteur x
(0) , on pose y
(0) = x
(0) /x
(0)
et on calcule
6 Valeurs propres et vecteurs propres
0
10
20
30
40
−1.2
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
−15
−5
5
15
25
35
Figure 6.3. Valeurs de (y
(k) )
T x1/(y
(k) x1) (à gauche) et de λ
(k) (à
droite), pour k = 1, . . . , 44
Exemple 6.3 Considérons la matrice A(α) de l’Exemple 6.1, avec α = 16.
Un vecteur propre x1 de norme 1 associé à λ1 est (1/2, 1/2, 1/2, 1/2)
T . Choisissons (à dessein !) le vecteur initial (2, −2, 3, −3)
T , qui est orthogonal à x1.
On indique sur la Figure 6.3 la quantité cos(θ
(k) ) = (y
(k) )
T x1/(y
(k) x1).
On voit qu’après environ 30 itérations de la méthode de la puissance, le cosinus
tend vers −1 et l’angle vers π, tandis que la suite λ
(k) approche λ1 = 34. Avec
la méthode de la puissance, on a donc construit, grâce aux erreurs d’arrondi,
une suite de vecteurs y
(k) dont les composantes selon x1 sont de plus en plus
significatives.
Il est possible de montrer que la méthode de la puissance converge
même si λ 1 est une racine multiple de p A (λ). En revanche, elle ne
converge pas quand il existe deux valeurs propres distinctes de même
module maximal. Dans ce cas, la suite λ
(k) oscille entre deux valeurs et
ne converge vers aucune limite.
Voir Exercices 6.1–6.3.
6.3 Généralisation de la méthode de la puissance
Une première généralisation de la méthode de la puissance consiste à
l’appliquer à l’inverse de la matrice A (à condition bien sûr que A soit
inversible !). Comme les valeurs propres de A
−1 sont les inverses de celles
de A, la méthode de la puissance nous permet alors d’approcher la valeur
propre de A de plus petit module. C’est la méthode de la puissance
inverse :
étant donné un vecteur x
(0) , on pose y
(0) = x
(0) /x
(0)
et on calcule