6.2 Méthode de la puissance
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Columns 9 through 11
0.0856 0.1906 0.0575
La ville associée à la première composante (plus grand module) de x, Milan, est la mieux desservie. Celle associé à la dernière composante (plus petit
module) de x, Mantua, est la moins bien desservie. Remarquer que notre analyse ne prend en compte que l’existence de connections ferroviaires entre les
villes, mais pas la fréquence des trains.
6.2.1 Analyse de convergence
Les vecteurs propres x 1 , . . . , x n de A forment une base de C
n , puisqu’on
les a supposés linéairement indépendants. On peut donc écrire x
(0) et
y
(0) comme
x
(0) =
n
i=1
α i x i , y
(0) = β
(0)
n
i=1
α i x i , avec β
(0) = 1/x
(0)
et α i ∈ C.
A la première itération, la méthode de la puissance donne
x
(1) = Ay
(0) = β
(0) A
n
i=1
α i x i = β
(0)
n
i=1
α i λ i x i
et, de même,
y
(1) = β
(1)
n
i=1
α i λ i x i , β
(1) =
1
x (0) x (1)
.
A l’étape k, on a
y (k) = β (k)
n
i=1
α i λ
k
i x i , β (k) =
1
x (0) · · · ·x (k)
et donc
y
(k) = λ
k
1 β
(k)
α 1 x 1 +
n
i=2
α i
λ
k
i
λ k
1
x i
.
Comme |λ i /λ 1 | < 1 pour i = 2, . . ., n, le vecteur y
(k) tend à s’aligner
le long de la direction du vecteur propre x 1 quand k tend vers +∞, à
condition que α 1 = 0. Cette condition sur α 1 , impossible à assurer en
pratique puisque x 1 est inconnu, n’est en fait pas restrictive. En effet,
les erreurs d’arrondi entraînent l’apparition d’une composante non nulle
selon x 1 , même quand le vecteur initial x
(0) n’en a pas (on peut dire que
c’est un des rares cas où les erreurs d’arrondi nous aident !).
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0.0856 0.1906 0.0575
La ville associée à la première composante (plus grand module) de x, Milan, est la mieux desservie. Celle associé à la dernière composante (plus petit
module) de x, Mantua, est la moins bien desservie. Remarquer que notre analyse ne prend en compte que l’existence de connections ferroviaires entre les
villes, mais pas la fréquence des trains.
6.2.1 Analyse de convergence
Les vecteurs propres x 1 , . . . , x n de A forment une base de C
n , puisqu’on
les a supposés linéairement indépendants. On peut donc écrire x
(0) et
y
(0) comme
x
(0) =
n
i=1
α i x i , y
(0) = β
(0)
n
i=1
α i x i , avec β
(0) = 1/x
(0)
et α i ∈ C.
A la première itération, la méthode de la puissance donne
x
(1) = Ay
(0) = β
(0) A
n
i=1
α i x i = β
(0)
n
i=1
α i λ i x i
et, de même,
y
(1) = β
(1)
n
i=1
α i λ i x i , β
(1) =
1
x (0) x (1)
.
A l’étape k, on a
y (k) = β (k)
n
i=1
α i λ
k
i x i , β (k) =
1
x (0) · · · ·x (k)
et donc
y
(k) = λ
k
1 β
(k)
α 1 x 1 +
n
i=2
α i
λ
k
i
λ k
1
x i
.
Comme |λ i /λ 1 | < 1 pour i = 2, . . ., n, le vecteur y
(k) tend à s’aligner
le long de la direction du vecteur propre x 1 quand k tend vers +∞, à
condition que α 1 = 0. Cette condition sur α 1 , impossible à assurer en
pratique puisque x 1 est inconnu, n’est en fait pas restrictive. En effet,
les erreurs d’arrondi entraînent l’apparition d’une composante non nulle
selon x 1 , même quand le vecteur initial x
(0) n’en a pas (on peut dire que
c’est un des rares cas où les erreurs d’arrondi nous aident !).