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5 Systèmes linéaires
Le choix des paramètres est le point crucial. On dispose pour cela du
résultat suivant (voir p.ex. [QV94, Chapitre 2], [Axe94]).
Proposition 5.5 Soit A∈ R
n×n . Pour toute matrice inversible P ∈
R
n×n la méthode de Richardson stationnaire converge ssi
|λ i |
2 <
2
α
Reλ i
∀i = 1, . . . , n,
où les λ i sont les valeurs propres de P
−1 A.
Si ces dernières sont toutes réelles, alors la méthode converge ssi
0 < αλ i < 2
∀i = 1, . . ., n.
Si les matrices P et A sont symétriques et définies positives, la
méthode de Richardson stationnaire converge pour tout x
(0) ssi
0 < α < 2/λ max , où λ max (> 0) est la valeur propre maximale de
P
−1 A.
De plus, le rayon spectral ρ(B α ) de la matrice d’itération B α = I −
αP
−1 A est minimum quand α = α opt , où
α opt =
2
λ min + λ max
(5.54)
λ min étant la valeur propre minimale de P
−1 A.
Enfin, on a le résultat de convergence suivant
e
(k)
A ≤
K(P
−1 A) − 1
K(P −1 A) + 1
k
e
(0)
A , k ≥ 0
(5.55)
où v A =
√ v T Av, ∀v ∈ R
n , s’appelle norme de l’énergie associée
à la matrice A.