5.10 Méthode de Richardson et du gradient
165
Proposition 5.4 Soit A ∈ R
n×n une matrice tridiagonale n × n
inversible dont les coefficients diagonaux sont tous non nuls. Alors
les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel sont soit toutes les deux
convergentes soit toutes les deux divergentes. En cas de convergence,
la méthode de Gauss-Seidel est plus rapide que celle de Jacobi ; plus
précisément le rayon spectral de sa matrice d’itération est égal au
carré de celui de Jacobi.
Exemple 5.13 Considérons un système linéaire Ax = b, où b est choisi tel
que la solution soit le vecteur unité (1, 1, . . . , 1)
T et où A est une matrice
10 × 10 tridiagonale dont les coefficients diagonaux sont égaux à 3, dont la
première sous-diagonale est composée de −2 et la première sur-diagonale de
−1. Les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel convergent toutes les deux car
les rayons spectraux de leurs matrices d’itération sont strictement inférieurs
à 1. En partant d’un vecteur initial nul et en fixant tol =10
−12 , la méthode
de Jacobi converge en 277 itérations tandis celle de Gauss-Seidel converge en
seulement 143 itérations. Ces résultats ont été obtenus avec les instructions
suivantes :
n =10;
A =3* eye (n ) -2* diag ( ones (n -1 ,1) ,1) -diag ( ones (n -1 ,1) , -1);
b =A * ones (n ,1);
x0= zeros (n ,1);
[x , iterJ ]= itermeth (A ,b ,x0 ,400 ,1.e -12 ,’J ’ );
[x , iterG ]= itermeth (A ,b ,x0 ,400 ,1.e -12 ,’G ’ );
iterJ =
277
iterG =
143
Voir Exercices 5.11–5.14.
5.10 Méthode de Richardson et du gradient
Considérons à présent une méthode pouvant être mise sous la forme
générale (5.49). La méthode est dite stationnaire quand α k = α (une
constante donnée) pour tout k ≥ 0, dynamique quand α k peut varier au
cours des itérations. La matrice inversible P est encore appelée préconditionneur de A.
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Proposition 5.4 Soit A ∈ R
n×n une matrice tridiagonale n × n
inversible dont les coefficients diagonaux sont tous non nuls. Alors
les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel sont soit toutes les deux
convergentes soit toutes les deux divergentes. En cas de convergence,
la méthode de Gauss-Seidel est plus rapide que celle de Jacobi ; plus
précisément le rayon spectral de sa matrice d’itération est égal au
carré de celui de Jacobi.
Exemple 5.13 Considérons un système linéaire Ax = b, où b est choisi tel
que la solution soit le vecteur unité (1, 1, . . . , 1)
T et où A est une matrice
10 × 10 tridiagonale dont les coefficients diagonaux sont égaux à 3, dont la
première sous-diagonale est composée de −2 et la première sur-diagonale de
−1. Les méthodes de Jacobi et de Gauss-Seidel convergent toutes les deux car
les rayons spectraux de leurs matrices d’itération sont strictement inférieurs
à 1. En partant d’un vecteur initial nul et en fixant tol =10
−12 , la méthode
de Jacobi converge en 277 itérations tandis celle de Gauss-Seidel converge en
seulement 143 itérations. Ces résultats ont été obtenus avec les instructions
suivantes :
n =10;
A =3* eye (n ) -2* diag ( ones (n -1 ,1) ,1) -diag ( ones (n -1 ,1) , -1);
b =A * ones (n ,1);
x0= zeros (n ,1);
[x , iterJ ]= itermeth (A ,b ,x0 ,400 ,1.e -12 ,’J ’ );
[x , iterG ]= itermeth (A ,b ,x0 ,400 ,1.e -12 ,’G ’ );
iterJ =
277
iterG =
143
Voir Exercices 5.11–5.14.
5.10 Méthode de Richardson et du gradient
Considérons à présent une méthode pouvant être mise sous la forme
générale (5.49). La méthode est dite stationnaire quand α k = α (une
constante donnée) pour tout k ≥ 0, dynamique quand α k peut varier au
cours des itérations. La matrice inversible P est encore appelée préconditionneur de A.