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5 Systèmes linéaires
ou, par composantes,
x
(k+1)
i
=
1
a ii
⎛
⎝ b i −
n
j=1,j =i
a ij x
(k)
j
⎞
⎠ , i = 1, . . . , n
(5.51)
pour k ≥ 0 et avec x
(0) = (x
(0)
1 , x
(0)
2 , . . . , x
(0)
n )
T comme vecteur initial.
La matrice d’itération est alors
B = D
−1 (D − A) =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
−a 12 /a 11 . . . −a 1n /a 11
−a 21 /a 22
0
−a 2n /a 22
. . .
. . .
. . .
−a n1 /a nn −a n2 /a nn . . .
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. (5.52)
Le résultat suivant permet de vérifier la Proposition 5.2 sans calculer
explicitement ρ(B)
Proposition 5.3 Si la matrice A ∈ R
n×n du système (5.1) est à
diagonale strictement dominante par ligne, alors la méthode de Jacobi converge.
Soit B définie en (5.52). On va vérifier que ρ(B) < 1, c’est-à-dire que
toutes les valeurs propres de B sont de module strictement inférieur à
1. Pour commencer, on remarque que les éléments diagonaux de A sont
non nuls, la matrice étant à diagonale dominante stricte (voir Section
6.4). Soit λ une valeur propre quelconque de B et x un vecteur propre
associé. Alors
n
j=1
b ij x j = λx i , i = 1, . . . , n.
Supposons pour simplifier que max k=1,...,n |x k | = 1 (ceci n’est pas restrictif puisque les vecteurs propres sont définis à une constante multiplicative
près) et soit x i une coordonnée de module 1. Alors
|λ| =
n
j=1
b ij x j
=
n
j=1,j =i
b ij x j
≤
n
j=1,j =i
a ij
a ii
,
où on a utilisé le fait que les éléments diagonaux de B étaient tous nuls.
Ainsi |λ| < 1 d’après l’hypothèse sur A.
La méthode de Jacobi est implémentée dans le Programme 5.2 (en
choisissant P=’J’). Les autres paramètres d’entrée sont : la matrice du
système A, le second membre b, le vecteur initial x0, le nombre maximum