5.9 Méthodes itératives
161
5.9.1 Comment construire une méthode itérative
Une méthode générale pour construire une méthode itérative est basée
sur la décomposition (on utilise aussi couramment le terme anglais splitting) de la matrice A, A = P − (P − A), où P est une matrice inversible
(appelée préconditionneur de A). Alors
Px = (P − A)x + b,
qui est de la forme (5.46), en posant B = P
−1 (P − A) = I − P
−1 A et
g = P
−1
b. On peut définir la méthode itérative correspondante
P(x
(k+1)
− x
(k) ) = r
(k) ,
k≥ 0,
où
r
(k) = b − Ax
(k)
(5.48)
désigne le résidu à l’itération k. On peut généraliser cette méthode de la
manière suivante
P(x
(k+1)
− x
(k) ) = α k r
(k) ,
k ≥ 0
(5.49)
où α k = 0 est un paramètre qui peut changer à chaque itération k et
qui sera a priori utile pour améliorer les propriétés de convergence de la
suite {x
(k)
}.
La méthode (5.49), appelée méthode de Richardson, conduit à chercher à chaque itération le résidu préconditionné z
(k) , c’est-à-dire la solution du système linéaire
Pz
(k) = r
(k) ,
(5.50)
la nouvelle itérée est alors définie par x
(k+1) = x
(k) + α k z
(k) . Ainsi, la
matrice P doit être choisie de telle manière que le coût de la résolution
de (5.50) soit assez faible (p.ex. une matrice P diagonale ou triangulaire
vérifierait à ce critère). Considérons à présent quelques cas particuliers
de méthodes itératives de la forme (5.49).
Méthode de Jacobi
Si les termes diagonaux de A sont non nuls, on peut poser P = D =
diag{a 11 , a 22 , . . . , a nn }, où D est la matrice diagonale contenant les
termes diagonaux de A. La méthode de Jacobi correspond à ce choix,
avec α k = 1 pour tout k. On déduit alors de (5.49)
Dx
(k+1) = b − (A − D)x
(k) ,
k ≥ 0,