5.5 Quelle est la précision de la solution d’un système linéaire ?
151
R
n constituée de vecteurs propres {v i }
n
i=1 de A (voir [QSS07, Chapitre
5]). Autrement dit
Av i = λ i v i , i = 1, . . ., n,
v
T
i v j = δ ij , i, j = 1, . . . , n,
où λ i est la valeur propre de A associée à v i et δ ij est le symbole de
Kronecker. Un vecteur quelconque w ∈ R
n peut s’écrire
w =
n
i=1
w i v i ,
où les coefficients w i ∈ R sont déterminés de manière unique. On a
Aw
2 = (Aw)
T (Aw)
= [w 1 (Av 1 )
T + . . . + w n (Av n )
T ][w 1 Av 1 + . . . + w n Av n ]
= (λ 1 w 1 v
T
1 + . . . + λ n w n v
T
n )(λ 1 w 1 v 1 + . . . + λ n w n v n )
=
n
i=1
λ
2
i w
2
i .
Notons λ max la plus grande valeur propre de A. Comme w
2 =
n
i=1 w
2
i , on en déduit que
Aw ≤ λ max w ∀w ∈ R
n .
(5.25)
On obtient de manière analogue
A
−1
w ≤
1
λ min
w,
en rappelant que les valeurs propres de A
−1 sont les inverses des valeurs
propres de A. Grâce à cette inégalité, on déduit de (5.24) que
x −
x
x
≤
1
λ min
δb
x
.
(5.26)
En utilisant (5.25) et l’égalité Ax = b, on obtient finalement
x −
x
x
≤
λ max
λ min
δb
b
(5.27)
On en déduit que l’erreur relative sur la solution est bornée par l’erreur relative sur les données multipliée par la constante (≥ 1)
K(A) =
λ max
λ min
(5.28)
qu’on appelle conditionnement spectral de la matrice A. On peut calculer
K(A) dans MATLAB avec la commande cond.
cond