150
5 Systèmes linéaires
0
20
40
60
80
100
10
−20
10
−15
10
−10
10
−5
10
0
10
5
Figure 5.8. Comportement en fonction de n de En (trait plein) et de
maxi,j=1,...,n |rij| (trait discontinu) en échelle logarithmique, pour le système
de Hilbert de l’Exemple 5.9. Les rij sont les coefficients de la matrice Rn
tandis que bn est choisi de sorte que la solution exacte soit xn = (1, 1, . . . , 1)
T .
La matrice An est clairement symétrique et on peut prouver qu’elle est de plus
définie positive.
On fait appel à la fonction lu de MATLAB pour différentes valeurs de n
afin d’obtenir la factorisation de Gauss An, avec stratégie de pivot par ligne.
On résout alors les systèmes linéaires associés (5.20) et on note
xn la solution
calculée. On a tracé sur la Figure 5.8 en échelle logarithmique les erreurs
relatives
En = xn −
xn/xn,
(5.22)
où désigne la norme euclidienne introduite à la Section 1.4.1. On a En ≥ 10
si n ≥ 13 (c’est-à-dire une erreur relative supérieure à 1000% !), tandis que
Rn = LnUn − PnAn est bien la matrice nulle (à la précision machine près)
pour tout n.
La remarque précédente suggère que pour étudier la résolution numérique d’un système linéaire Ax = b, on peut considérer la résolution exacte
x d’un système perturbé
(A + δA) x = b + δb,
(5.23)
où δA et δb sont respectivement une matrice et un vecteur qui dépendent
de la méthode numérique utilisée. Pour simplifier, commençons par le cas
où δA = 0 et δb = 0 et supposons A∈ R
n×n symétrique définie positive.
En comparant (5.1) et (5.23), on trouve x −
x = −A
−1
δb, et donc
x −
x = A
−1
δb.
(5.24)
Trouvons un majorant du membre de droite de (5.24). La matrice A étant
symétrique définie positive, on peut construire une base orthonormale de
5 Systèmes linéaires
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Figure 5.8. Comportement en fonction de n de En (trait plein) et de
maxi,j=1,...,n |rij| (trait discontinu) en échelle logarithmique, pour le système
de Hilbert de l’Exemple 5.9. Les rij sont les coefficients de la matrice Rn
tandis que bn est choisi de sorte que la solution exacte soit xn = (1, 1, . . . , 1)
T .
La matrice An est clairement symétrique et on peut prouver qu’elle est de plus
définie positive.
On fait appel à la fonction lu de MATLAB pour différentes valeurs de n
afin d’obtenir la factorisation de Gauss An, avec stratégie de pivot par ligne.
On résout alors les systèmes linéaires associés (5.20) et on note
xn la solution
calculée. On a tracé sur la Figure 5.8 en échelle logarithmique les erreurs
relatives
En = xn −
xn/xn,
(5.22)
où désigne la norme euclidienne introduite à la Section 1.4.1. On a En ≥ 10
si n ≥ 13 (c’est-à-dire une erreur relative supérieure à 1000% !), tandis que
Rn = LnUn − PnAn est bien la matrice nulle (à la précision machine près)
pour tout n.
La remarque précédente suggère que pour étudier la résolution numérique d’un système linéaire Ax = b, on peut considérer la résolution exacte
x d’un système perturbé
(A + δA) x = b + δb,
(5.23)
où δA et δb sont respectivement une matrice et un vecteur qui dépendent
de la méthode numérique utilisée. Pour simplifier, commençons par le cas
où δA = 0 et δb = 0 et supposons A∈ R
n×n symétrique définie positive.
En comparant (5.1) et (5.23), on trouve x −
x = −A
−1
δb, et donc
x −
x = A
−1
δb.
(5.24)
Trouvons un majorant du membre de droite de (5.24). La matrice A étant
symétrique définie positive, on peut construire une base orthonormale de