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5 Systèmes linéaires
Table 5.3. Durée nécessaire à la résolution d’un système linéaire de dimension
n par la méthode d’élimination de Gauss. “h.l.” désigne des durées hors de
limites raisonnables
No. de flops de l’ordinateur
n
10
9 (Giga)
10
12 (Tera)
10
15 (Peta)
10
2
7 · 10
−4 sec
négligeable
négligeable
10
4
11 min
0.7 sec
7 · 10
−4 sec
10
6
21 ans
7.7 mois
11 min
10
8
h.l.
h.l.
21 ans
TeraFlops et 1 PetaFlops. Sur la Figure 5.5, on trace, en fonction de n, le
nombre d’opérations nécessaire à cette factorisation. Pour diverses valeurs de
n (n = 10, 20, . . . , 100) le nombre d’opérations est indiqué par des cercles. La
courbe dessinée sur le graphe est un polynôme de degré 3 en n approchant
au sens des moindres carrés les données précédentes. Le nombre d’opérations
a été obtenu avec la commande flops qui existait dans les versions 5.3.1 (et
flops
précédentes) de MATLAB.
La factorisation de Gauss est à la base de nombreuses commandes
MATLAB :
- [L,U]=lu(A) dont l’usage sera décrit à la Section 5.4 ;
lu
- inv qui permet le calcul de l’inverse d’une matrice ;
inv
\
- \ grâce à laquelle il est possible de résoudre un système linéaire de
matrice A et de second membre b en écrivant simplement A\b (voir
Section 5.8).
Une matrice A∈ R
n×n est creuse si elle a un nombre de termes non
nuls de l’ordre de n (et non n
2 ). On appelle profil d’une matrice creuse
l’ensemble de ses coefficients non nuls.
Quand un système est résolu à l’aide de la commande \, MATLAB
reconnaît le type de matrice (par exemple s’il s’agit d’une matrice creuse
0
20
40
60
80
100
0
1
2
3
4
5
6
7
x 10
5
Figure 5.5. Nombre d’opérations nécessaire à la factorisation LU de la matrice
de Vandermonde en fonction de la dimension n de la matrice. Cette fonction
est un polynôme de degré 3 obtenu en approchant les valeurs correspondant à
n = 10, 20, . . . , 100 au sens des moindres carrés