5.3 Factorisation LU
141
Table 5.2. Coefficients de sensibilité pour un mélange de gaz
Composants
Composants Hydrogène Méthane Ethylène Ethane Propylène Propane n-Pentane
1
2
3
4
5
6
7
1
16.87 0.1650 0.2019 0.3170
0.2340 0.1820
0.1100
2
0.0
27.70 0.8620 0.0620
0.0730 0.1310
0.1200
3
0.0
0.0
22.35 13.05
4.420
6.001
3.043
4
0.0
0.0
0.0 11.28
0.0
1.110
0.3710
5
0.0
0.0
0.0
0.0
9.850 1.1684
2.108
6
0.0
0.0
0.0
0.0
0.2990
15.98
2.107
7
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
4.670
Cette décomposition est appelée factorisation de Gauss ; déterminer
les éléments de L et U requiert environ 2n
3 /3 opérations (voir Exercice
5.4).
Exemple 5.3 (Spectrométrie) Dans le Problème 5.2, on considère un mélange de gaz qui, après examen spectroscopique, présente pour les sept composants les plus significatifs : h1 = 17.1, h2 = 65.1, h3 = 186.0, h4 = 82.7,
h5 = 84.2, h6 = 63.7 et h7 = 119.7. On veut comparer la pression totale mesurée, égale à 38.78 μm de Hg (qui prend en compte également les composants
qu’on a négligés dans notre modèle simplifié) avec celle obtenue en utilisant les
relations (5.3) pour n = 7, où les coefficients de sensibilité sont donnés dans la
Table 5.2 (d’après [CLW69, p.331]). On peut calculer les pressions partielles
en résolvant le système (5.3) pour n = 7 à l’aide de la factorisation LU. On
obtient :
partpress=
0.6525
2.2038
0.3348
6.4344
2.9975
0.5505
25.6317
En utilisant ces valeurs, on calcule la pression totale approchée (donnée par
sum(partpress)) du mélange de gaz qui diffère de celle mesurée de 0.0252 μm
de Hg.
Exemple 5.4 On considère la matrice de Vandermonde
A = (a ij ) avec aij = x
n−j
i
, i, j = 1, . . . , n,
(5.14)
où les xi sont n abscisses distinctes. On peut construire cette matrice avec
la commande MATLAB vander. On indique dans la Table 5.3 la durée du vander
calcul de la factorisation de Gauss de A (dont le nombre d’opérations est
de l’ordre de 2n
3 /3, voir Figure 5.5) sur des ordinateurs de 1 GigaFlops, 1
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Table 5.2. Coefficients de sensibilité pour un mélange de gaz
Composants
Composants Hydrogène Méthane Ethylène Ethane Propylène Propane n-Pentane
1
2
3
4
5
6
7
1
16.87 0.1650 0.2019 0.3170
0.2340 0.1820
0.1100
2
0.0
27.70 0.8620 0.0620
0.0730 0.1310
0.1200
3
0.0
0.0
22.35 13.05
4.420
6.001
3.043
4
0.0
0.0
0.0 11.28
0.0
1.110
0.3710
5
0.0
0.0
0.0
0.0
9.850 1.1684
2.108
6
0.0
0.0
0.0
0.0
0.2990
15.98
2.107
7
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
4.670
Cette décomposition est appelée factorisation de Gauss ; déterminer
les éléments de L et U requiert environ 2n
3 /3 opérations (voir Exercice
5.4).
Exemple 5.3 (Spectrométrie) Dans le Problème 5.2, on considère un mélange de gaz qui, après examen spectroscopique, présente pour les sept composants les plus significatifs : h1 = 17.1, h2 = 65.1, h3 = 186.0, h4 = 82.7,
h5 = 84.2, h6 = 63.7 et h7 = 119.7. On veut comparer la pression totale mesurée, égale à 38.78 μm de Hg (qui prend en compte également les composants
qu’on a négligés dans notre modèle simplifié) avec celle obtenue en utilisant les
relations (5.3) pour n = 7, où les coefficients de sensibilité sont donnés dans la
Table 5.2 (d’après [CLW69, p.331]). On peut calculer les pressions partielles
en résolvant le système (5.3) pour n = 7 à l’aide de la factorisation LU. On
obtient :
partpress=
0.6525
2.2038
0.3348
6.4344
2.9975
0.5505
25.6317
En utilisant ces valeurs, on calcule la pression totale approchée (donnée par
sum(partpress)) du mélange de gaz qui diffère de celle mesurée de 0.0252 μm
de Hg.
Exemple 5.4 On considère la matrice de Vandermonde
A = (a ij ) avec aij = x
n−j
i
, i, j = 1, . . . , n,
(5.14)
où les xi sont n abscisses distinctes. On peut construire cette matrice avec
la commande MATLAB vander. On indique dans la Table 5.3 la durée du vander
calcul de la factorisation de Gauss de A (dont le nombre d’opérations est
de l’ordre de 2n
3 /3, voir Figure 5.5) sur des ordinateurs de 1 GigaFlops, 1