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5 Systèmes linéaires
Pour simplifier, on suppose que tous les capillaires ont la même résistance hydraulique R m = 1, que la longueur du premier capillaire vaut
L 1 = 20, et que la longueur des autres est divisée par deux à chaque
bifurcation (c’est-à-dire L 2 = L 3 = 10, L 4 = . . . = L 7 = 5 etc.). On
obtient alors la matrice suivante
A =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
− 1
4
1
10
1
10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
10
− 1
2
0
1
5
1
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
10
0
− 1
2
0
0
1
5
1
5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
5
0
−1
0
0
0
0 .4
0 .4
0
0
0
0
0
0
0
1
5
0
0
−1
0
0
0
0
0 .4
0 .4
0
0
0
0
0
0
1
5
0
0
−1
0
0
0
0
0
0 .4
0 .4
0
0
0
0
1
5
0
0
0
−1
0
0
0
0
0
0
0 .4
0 .4
0
0
0
0 .4
0
0
0
−2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 .4
0
0
0
0
−2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 .4
0
0
0
0
−2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 .4
0
0
0
0
0
−2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 .4
0
0
0
0
0
−2
0
0
0
0
0
0
0
0
0 .4
0
0
0
0
0
0
−2
0
0
0
0
0
0
0
0
0 .4
0
0
0
0
0
0
−2
0
0
0
0
0
0
0
0 .4
0
0
0
0
0
0
0
−2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
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⎥
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⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
et b = [−5/2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
T .
On traitera la résolution de ce système dans l’Exemple 5.7.
5.2 Systèmes linéaires et complexité
La solution du système (5.1) existe et est unique si et seulement si A n’est
pas singulière. En théorie, la solution peut être calculée en utilisant les
formules de Cramer
x i =
det(A i )
det(A)
, i = 1, . . . , n,
où A i est la matrice obtenue en remplaçant la i-ème colonne de A par
b et où det(A) désigne le déterminant de A. Si les n + 1 déterminants
sont calculés par le développement de Laplace (voir Exercice 5.1), environ 3(n + 1)! opérations sont nécessaires. Comme d’habitude, on entend
par opération une somme, une soustraction, un produit ou une division.
A titre d’exemple, un ordinateur capable d’effectuer 10
9 opérations flottantes par seconde (i.e. 1 Giga flops), mettrait environ 17 heures pour
résoudre un système de dimension n = 15, 4860 ans pour n = 20 et
10
143 ans pour n = 100, voir la Table 5.1. La vitesse typique d’un PC
actuel est environ 10
9 flops (p.ex. avec un processeur Intel
R
Core
TM 2
Duo, 2.53 GHz) tandis que le Cray XT5-HE Jaguar, 1er du top 500 des
supercalculateurs en December 2009, affiche une vitesse de 1.7 Peta-flops
(i.e. 1.7 · 10
15 flops).
On peut réduire drastiquement le coût du calcul à environ n
3.8 opérations si les n+1 déterminants sont calculés par l’algorithme mentionné