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Analyse et technologie des surfaces
23.3.4 Contact ponctuel sphère/plan. Champ des contraintes
Le tenseur des contraintes en tout point du massif a été exprimé par HUBER
[23.3]. En surface pour z = 0, les contraintes σ r , σ θ , σ z sont des contraintes principales. Leur expression est la suivante:
Les points contenus à l’intérieur du cercle de contact (r < a et z = 0) sont soumis à une compression avec un maximum p 0 au centre du cercle (r = 0, z = 0). Les
contraintes radiale σ r et circonférentielle σ θ et la cission maximale au sens de
Tresca en ce point s’expriment par:
σ z = p 0
(23.17)
Les points appartenant à la circonférence qui limite le cercle de contact (r = a,
z = 0) sont soumis à une tension radiale:
(tension)
(23.18)
Hors du cercle de contact: (r > a, z = 0), les contraintes décroissent.
La contrainte radiale tensile sur la circonférence, σ r = 0,13 p 0 pour ν = 0,3 est
à l’origine de fissurations dites hertziennes dans le cas des matériaux à caractère
fragile sensibles au mode 1 de rupture. L’évolution des contraintes en surface est
représentée dans la figure 23.8.
A l’extérieur du cercle de contact (r > a, z = 0), la contrainte normale est nulle
et les contraintes radiales et circonférentielles tendent vers 0.
Sous la surface, on étudiera uniquement les contraintes sur l’axe Oz: r = 0.
La figure 23.9 présente l’évolution des contraintes sur l’axe Oz. On y observe
que la cission maximale passe par un maximum τ M = 0,31 pour z = 0,5 a.
(23.19)
σ r
σ θ
1 2ν
+
2
--------------- p 0
–
=
=
τ M
1
2
-- - σ z σ r
–
〈
〉
1
–
2ν
+
4
------------------- - p 0
=
=
σ r
1 2ν
–
3
-------------- - p 0
=
σ θ
1 2ν
–
3
-------------- - p 0
–
0
=
=
τ rz
τ zθ
τ θr
0
=
=
=
τ max
1 2ν
–
3
-------------- - p 0
=
σ r
σ θ
1 ν
+
〈
〉 1
z
a
-- -Arctg
a
z
-- -
–
〈
〉
–
1
2
-- -
1
1
z/a
〈 〉 2
+
------------------------ -
+



 p 0
=
=
σ z
1
1
z/a
〈 〉 2
+
------------------------ - p 0
–
=
τ rz
τ zθ
τ θr
0
=
=
=
τ M
1
2
-- - σ z σ r
–
〈
〉
=