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Analyse et technologie des surfaces
avec C : capacité thermique locale.
m : masse de l’élément d V .
Dans des cas simples, on a:
• une conductivité thermique linéaire dans toute la gamme de température en
considération,
• aucune transition de phase dans toute la gamme de température,
• des matériaux isotropes.
Dans ce cas, on peut simplifier l’équation (10.2) et l’écrire sous forme différentielle:
(10.3)
où ρ est la masse volumique du matériau en kg/m 3 .
Cette loi s’appelle la loi de Fick . λ / ρ C est appelée la diffusivité et possède la
même dimension que le coefficient de diffusion. Elle est du type équation de Laplace et
on peut donc utiliser pour sa solution les mêmes méthodes que celles développées dans
les livres de mathématique pour ingénieurs ou par les distributeurs de software. Les problèmes de diffusion de chaleur sont traités dans le volume 6 du Traité des Matériaux.
Les solutions de cette équation dans des systèmes de coordonnées simples ont
toutes la même structure. Par exemple, pour un cylindre de longueur infinie chauffée uniformément par la surface, on trouve
(10.4)
avec t :
temps écoulé depuis l’allumage de la source de chaleur ou l’introduction de la pièce dans le four.
T ( r , t ): température au radius r .
P :
densité de puissance appliquée à la surface W/m 2 .
2 R :
diamètre du cylindre.
J :
fonction de Bessel.
β n :
racine de la fonction de Bessel.
τ :
temps de transition.
et
(10.5)
Les deux premiers termes définissent la température moyenne du cylindre, le
troisième et le quatrième termes la distribution de température dans le régime stationnaire. Ils ne nous intéressent pas pour les traitements de surface, pour lesquels il
suffit le plus souvent de prendre le premier terme de la somme. Il est intéressant de
∂T
∂t
------ -
λ
ρC
-------∇ 2 T
=
T r t
,
( )
T L
2Pt
Rcρ
--------- -
PR
2λ
------r
R
--
2 1
2
-- -
–
4
e
β n
2 τ
–
J 0 β n r/R
(
)
β n
2 J 0 β n
( )
------------------------ -
n 1
=
∞
∑
–
+
+
=
τ
λt
cρR 2
-----------=
Analyse et technologie des surfaces
avec C : capacité thermique locale.
m : masse de l’élément d V .
Dans des cas simples, on a:
• une conductivité thermique linéaire dans toute la gamme de température en
considération,
• aucune transition de phase dans toute la gamme de température,
• des matériaux isotropes.
Dans ce cas, on peut simplifier l’équation (10.2) et l’écrire sous forme différentielle:
(10.3)
où ρ est la masse volumique du matériau en kg/m 3 .
Cette loi s’appelle la loi de Fick . λ / ρ C est appelée la diffusivité et possède la
même dimension que le coefficient de diffusion. Elle est du type équation de Laplace et
on peut donc utiliser pour sa solution les mêmes méthodes que celles développées dans
les livres de mathématique pour ingénieurs ou par les distributeurs de software. Les problèmes de diffusion de chaleur sont traités dans le volume 6 du Traité des Matériaux.
Les solutions de cette équation dans des systèmes de coordonnées simples ont
toutes la même structure. Par exemple, pour un cylindre de longueur infinie chauffée uniformément par la surface, on trouve
(10.4)
avec t :
temps écoulé depuis l’allumage de la source de chaleur ou l’introduction de la pièce dans le four.
T ( r , t ): température au radius r .
P :
densité de puissance appliquée à la surface W/m 2 .
2 R :
diamètre du cylindre.
J :
fonction de Bessel.
β n :
racine de la fonction de Bessel.
τ :
temps de transition.
et
(10.5)
Les deux premiers termes définissent la température moyenne du cylindre, le
troisième et le quatrième termes la distribution de température dans le régime stationnaire. Ils ne nous intéressent pas pour les traitements de surface, pour lesquels il
suffit le plus souvent de prendre le premier terme de la somme. Il est intéressant de
∂T
∂t
------ -
λ
ρC
-------∇ 2 T
=
T r t
,
( )
T L
2Pt
Rcρ
--------- -
PR
2λ
------r
R
--
2 1
2
-- -
–
4
e
β n
2 τ
–
J 0 β n r/R
(
)
β n
2 J 0 β n
( )
------------------------ -
n 1
=
∞
∑
–
+
+
=
τ
λt
cρR 2
-----------=