Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 248
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
248
Informatique pour tous
avec ε ∈ {±1} du signe de
.
θ.
4 Résoudre l’équation différentielle dans ce cadre.
5 Vérifier que si on fixe par exemple
.
θ(0) = 0.3, alors il existe une valeur seuil de k au-delà de laquelle le
glaçon va s’arrêter.
Pour prendre en compte le décrochage, on peut traiter les solutions après résolution (sans test interne, c’est
le plus simple), ou bien inclure dans la fonction de l’équation différentielle un test vérifiant le décrochage.
Au moment du décrochage, on peut décider de bloquer la trajectoire. La figure 9.26 montre différents
angles de décrochage en fonction de la vitesse initiale. On voit figure 9.27 que le seuil critique pour k
est de l’ordre de 0.96. Par dichotomie, on pourra obtenir quelques décimales supplémentaires. De façon
automatique si possible !
glacon1.pdf
Figure 9.26
On s’approche de arccos(3/2) ≃ 0.84.
Exercice 9.20 avec corrigé : Paraboles (ou autres) de sécurité. On jette un projectile M à partir du
point O avec une vitesse v 0 constante, mais faisant un angle variable avec l’horizontale. Si le projectile est
soumis seulement à la gravitation, la trajectoire est connue : ce sera une parabole. On démontre même
de façon classique que l’ensemble des trajectoires est « enveloppé » par une parabole, dite de sécurité.
Cet exercice a pour objet la visualisation de cette parabole.
1 Résoudre numériquement l’équation
d 2
dt 2
− − →
OM = − → g .
2 Représenter une vingtaine de paraboles, avec des angles variables.
3 On suppose maintenant que le projectile est soumis à une force de frottement de la forme −k − → v .
Modifier les équations et représenter à nouveau quelques trajectoires du projectile.
Ici, on pourra stopper les trajectoires dès que z devient strictement négatif. Sans frottement, on voit la
parabole se dessiner sur la figure 9.28. Sur la figure 9.29, on voit l’effet des frottements, qui raccourcissent
les trajectoires.
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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Informatique pour tous
avec ε ∈ {±1} du signe de
.
θ.
4 Résoudre l’équation différentielle dans ce cadre.
5 Vérifier que si on fixe par exemple
.
θ(0) = 0.3, alors il existe une valeur seuil de k au-delà de laquelle le
glaçon va s’arrêter.
Pour prendre en compte le décrochage, on peut traiter les solutions après résolution (sans test interne, c’est
le plus simple), ou bien inclure dans la fonction de l’équation différentielle un test vérifiant le décrochage.
Au moment du décrochage, on peut décider de bloquer la trajectoire. La figure 9.26 montre différents
angles de décrochage en fonction de la vitesse initiale. On voit figure 9.27 que le seuil critique pour k
est de l’ordre de 0.96. Par dichotomie, on pourra obtenir quelques décimales supplémentaires. De façon
automatique si possible !
glacon1.pdf
Figure 9.26
On s’approche de arccos(3/2) ≃ 0.84.
Exercice 9.20 avec corrigé : Paraboles (ou autres) de sécurité. On jette un projectile M à partir du
point O avec une vitesse v 0 constante, mais faisant un angle variable avec l’horizontale. Si le projectile est
soumis seulement à la gravitation, la trajectoire est connue : ce sera une parabole. On démontre même
de façon classique que l’ensemble des trajectoires est « enveloppé » par une parabole, dite de sécurité.
Cet exercice a pour objet la visualisation de cette parabole.
1 Résoudre numériquement l’équation
d 2
dt 2
− − →
OM = − → g .
2 Représenter une vingtaine de paraboles, avec des angles variables.
3 On suppose maintenant que le projectile est soumis à une force de frottement de la forme −k − → v .
Modifier les équations et représenter à nouveau quelques trajectoires du projectile.
Ici, on pourra stopper les trajectoires dès que z devient strictement négatif. Sans frottement, on voit la
parabole se dessiner sur la figure 9.28. Sur la figure 9.29, on voit l’effet des frottements, qui raccourcissent
les trajectoires.