Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 216
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
216
Informatique pour tous
jacobienne) en évaluant numériquement quatre dérivées :
Jac(F )(x, y) =
∂f 1 (x, y)
∂x
∂f 1 (x, y)
∂y
∂f 2 (x, y)
∂x
∂f 2 (x, y)
∂y
À chaque étape, il s’agit donc d’évaluer la jacobienne, puis de résoudre un système linéaire — avec
l’espoir raisonnable qu’il s’agisse d’un système de Cramer.
3 On peut enfin voir que la deuxième équation permet de définir explicitement x comme fonction de y,
ce qui nous ramène à une équation scalaire.
4 Comparer les facilités de mise en œuvre et vitesse d’exécution (en fonction de la précision requise) des
trois méthodes. Laquelle semble la plus facilement généralisable à un système « moins favorable » ? Et
à une dimension strictement plus grande que 2 ?
Exercice 8.15 ** Courbes définies par une relation implicite. On souhaite ici représenter un ensemble C de points de coordonnées (x, y) vérifiant une relation de la forme f (x, y) = 0. Plus précisément, on cherche à déterminer une suite de points M k (x k , y k ) proches de C, les x k étant des points
uniformément répartis sur [a, b] fixé (avec donc a = x 0 < x 1 < · · · < xn = b). On donne également α
et β tels que f (a, α)f (a, β) < 0. L’application f est supposée continue.
Une façon de procéder consiste à résoudre numériquement l’équation f (x 0 , y) = 0 (en partant de l’intervalle [α, β]), ce qui détermine y 0 . Ensuite, de proche en proche, on résout numériquement f (x k+1 , y) = 0
en partant de valeurs de y proches de y k , ce qui fixe y k+1 , etc.
1 Mettre en place cette idée dans un programme prenant en entrée f, x 0 , x 1 , α, β et n, et renvoyant la
liste des x k et celle des y k .
2 En utilisant ce qui précède et la bibliothèque matplotlib (voir chapitre 9), représenter sur un même
graphique les courbes d’équations implicites exp(x + y 2 ) sin(x + y) = 1 et cos x + sin 2 y = 1 (tirées
de l’exercice précédent).
intersection.pdf
Figure 8.9
L’intersection se situe vers (0.39, 0.28).
Au voisinage de (0, 0), l’équation f 2 (x, y) = 1 pose problème ; pourquoi ?
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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Informatique pour tous
jacobienne) en évaluant numériquement quatre dérivées :
Jac(F )(x, y) =
∂f 1 (x, y)
∂x
∂f 1 (x, y)
∂y
∂f 2 (x, y)
∂x
∂f 2 (x, y)
∂y
À chaque étape, il s’agit donc d’évaluer la jacobienne, puis de résoudre un système linéaire — avec
l’espoir raisonnable qu’il s’agisse d’un système de Cramer.
3 On peut enfin voir que la deuxième équation permet de définir explicitement x comme fonction de y,
ce qui nous ramène à une équation scalaire.
4 Comparer les facilités de mise en œuvre et vitesse d’exécution (en fonction de la précision requise) des
trois méthodes. Laquelle semble la plus facilement généralisable à un système « moins favorable » ? Et
à une dimension strictement plus grande que 2 ?
Exercice 8.15 ** Courbes définies par une relation implicite. On souhaite ici représenter un ensemble C de points de coordonnées (x, y) vérifiant une relation de la forme f (x, y) = 0. Plus précisément, on cherche à déterminer une suite de points M k (x k , y k ) proches de C, les x k étant des points
uniformément répartis sur [a, b] fixé (avec donc a = x 0 < x 1 < · · · < xn = b). On donne également α
et β tels que f (a, α)f (a, β) < 0. L’application f est supposée continue.
Une façon de procéder consiste à résoudre numériquement l’équation f (x 0 , y) = 0 (en partant de l’intervalle [α, β]), ce qui détermine y 0 . Ensuite, de proche en proche, on résout numériquement f (x k+1 , y) = 0
en partant de valeurs de y proches de y k , ce qui fixe y k+1 , etc.
1 Mettre en place cette idée dans un programme prenant en entrée f, x 0 , x 1 , α, β et n, et renvoyant la
liste des x k et celle des y k .
2 En utilisant ce qui précède et la bibliothèque matplotlib (voir chapitre 9), représenter sur un même
graphique les courbes d’équations implicites exp(x + y 2 ) sin(x + y) = 1 et cos x + sin 2 y = 1 (tirées
de l’exercice précédent).
intersection.pdf
Figure 8.9
L’intersection se situe vers (0.39, 0.28).
Au voisinage de (0, 0), l’équation f 2 (x, y) = 1 pose problème ; pourquoi ?