Livre_silo 30 août 2013 16:32 Page 215
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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8 – Résolution numérique d’équations sur les réels
iterations-pseudo-inverse.pdf
Figure 8.8
La convergence se fait désirer... puis est très rapide.
Exercice 8.14 ** On se propose d’approcher de trois façons différentes une solution du système non
linéaire
{
exp(x + y 2 ) sin(x + y) = 1
cos x + sin 2 y = 1
Plus précisément, on veut approcher l’unique solution appartenant à [0, 1] × [0, 1]. Cet exercice peut
constituer à lui seul une séance de TP complète, modulo quelques explications supplémentaires !
In [15]: scipy.optimize.fsolve(lambda (x,y):(f1(x,y),f2(x,y)),(0.5,0.5))
Out[15]: array([ 0.39348813, 0.28009462])
Dans chaque cas, on s’intéressera au nombre d’évaluations de f nécessaires pour obtenir p bits significatifs.
1 On peut, à x 0 fixé, utiliser une méthode de résolution approchant y tel que
e
x 0 +y
2
sin(x 0 + y) = 1.
Si on note φ(x 0 ) cet y, il reste à résoudre numériquement cos(x) + sin 2 (φ(x)) = 1.
2 On peut adapter la méthode de Newton à la dimension 2 en construisant une suite (Xn) n∈N de couples
de réels tels que X 0 =
(
0.5
0.5
)
par exemple, avec la relation
X n+1 = Xn − (dF Xn )
−1 .F (Xn)
où F : (x, y) → (f 1 (X), f 2 (X)) =
(
exp(x + y 2 ) sin(x + y) − 1, cos x + sin 2 y − 1
)
est la fonction
dont on cherche un zéro et dF Xn est sa différentielle en Xn, dont on peut approcher la matrice (la
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C o p y r i g h t E y r o l l e s
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8 – Résolution numérique d’équations sur les réels
iterations-pseudo-inverse.pdf
Figure 8.8
La convergence se fait désirer... puis est très rapide.
Exercice 8.14 ** On se propose d’approcher de trois façons différentes une solution du système non
linéaire
{
exp(x + y 2 ) sin(x + y) = 1
cos x + sin 2 y = 1
Plus précisément, on veut approcher l’unique solution appartenant à [0, 1] × [0, 1]. Cet exercice peut
constituer à lui seul une séance de TP complète, modulo quelques explications supplémentaires !
In [15]: scipy.optimize.fsolve(lambda (x,y):(f1(x,y),f2(x,y)),(0.5,0.5))
Out[15]: array([ 0.39348813, 0.28009462])
Dans chaque cas, on s’intéressera au nombre d’évaluations de f nécessaires pour obtenir p bits significatifs.
1 On peut, à x 0 fixé, utiliser une méthode de résolution approchant y tel que
e
x 0 +y
2
sin(x 0 + y) = 1.
Si on note φ(x 0 ) cet y, il reste à résoudre numériquement cos(x) + sin 2 (φ(x)) = 1.
2 On peut adapter la méthode de Newton à la dimension 2 en construisant une suite (Xn) n∈N de couples
de réels tels que X 0 =
(
0.5
0.5
)
par exemple, avec la relation
X n+1 = Xn − (dF Xn )
−1 .F (Xn)
où F : (x, y) → (f 1 (X), f 2 (X)) =
(
exp(x + y 2 ) sin(x + y) − 1, cos x + sin 2 y − 1
)
est la fonction
dont on cherche un zéro et dF Xn est sa différentielle en Xn, dont on peut approcher la matrice (la