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9 • Calcul non-linéaire, analyse limite, plasticité
9.4 ANALYSE LIMITE D’UN SYSTÈME DE POUTRES
9.4.1 Enjeux
Soit un système de poutres soumis au chargement extérieur F ext . Sous l’hypothèse d’un comportement plastique parfait du matériau constitutif de la
structure, celle-ci sera mise en ruine pour un chargement F cri t = l ult F ext
par l’apparition d’un nombre suffisant de rotules plastiques transformant
la structure en mécanisme. On aura donc un accroissement proportionnel
de toutes les charges par le facteur de charge l jusqu’au facteur de charge
ultime l ult . Pour déterminer celui-ci on a deux approches : la méthode STATIQUE et la méthode CINÉMATIQUE.
9.4.2 Théorème statique
À tout état de contrainte statiquement admissible (|M| M pl partout) vérifiant les conditions cinématiques (C.L. et moment M pl de même sens que les
rotations plastiques au droit des rotules) correspond un facteur de charge :
l stat l ult
(9.3)
➤ Application
Soit la structure de la figure 9.4.
• On calcule le moment M dans la structure et on trace le diagramme
associé.
• On suppose que ±M pl est atteint en un point de la structure (point de
moment maximum) pour l = l 1 . On a donc l 1 ql
2 /12 = M pl soit
l 1 = 12M pl /ql
2 .
• On place deux rotules en A et C (voir figure 9.5) qui reprennent alors un
moment égal à −M pl et on vérifie que |M| |M pl | pour toute la structure.
Ici, M B = lql
2 /8 − M pl avec :
l > l 1 => lql
2 /8 > l 1 ql
2 /8 = 3M pl /2 > M pl .
on a donc bien M B > 0 et |M B | M pl .
9 • Calcul non-linéaire, analyse limite, plasticité
9.4 ANALYSE LIMITE D’UN SYSTÈME DE POUTRES
9.4.1 Enjeux
Soit un système de poutres soumis au chargement extérieur F ext . Sous l’hypothèse d’un comportement plastique parfait du matériau constitutif de la
structure, celle-ci sera mise en ruine pour un chargement F cri t = l ult F ext
par l’apparition d’un nombre suffisant de rotules plastiques transformant
la structure en mécanisme. On aura donc un accroissement proportionnel
de toutes les charges par le facteur de charge l jusqu’au facteur de charge
ultime l ult . Pour déterminer celui-ci on a deux approches : la méthode STATIQUE et la méthode CINÉMATIQUE.
9.4.2 Théorème statique
À tout état de contrainte statiquement admissible (|M| M pl partout) vérifiant les conditions cinématiques (C.L. et moment M pl de même sens que les
rotations plastiques au droit des rotules) correspond un facteur de charge :
l stat l ult
(9.3)
➤ Application
Soit la structure de la figure 9.4.
• On calcule le moment M dans la structure et on trace le diagramme
associé.
• On suppose que ±M pl est atteint en un point de la structure (point de
moment maximum) pour l = l 1 . On a donc l 1 ql
2 /12 = M pl soit
l 1 = 12M pl /ql
2 .
• On place deux rotules en A et C (voir figure 9.5) qui reprennent alors un
moment égal à −M pl et on vérifie que |M| |M pl | pour toute la structure.
Ici, M B = lql
2 /8 − M pl avec :
l > l 1 => lql
2 /8 > l 1 ql
2 /8 = 3M pl /2 > M pl .
on a donc bien M B > 0 et |M B | M pl .