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6 • Plaques et coques
6.1.1 Formules générales
On appelle v(x, y) la flèche de la plaque (suivant l’axe z). Les solutions sont
données pour des plaques élastiques de Kirchhoff-Love, valables pour les
plaques minces. La flèche vérifie l’équation :
D
∂
4
v
∂x 4 + 2
∂
4
v
∂x 2 y 2 +
∂
4
v
∂ y 4
= q(x, y)
(6.1)
avec q(x, y) la densité de charge et D la raideur en flexion de la plaque :
D =
Eh
3
12
1 − n 2
où E et n sont les paramètres élastiques du matériau, respectivement le
module d’Young et le coefficient de Poisson.
➤ Contraintes généralisées
Moments de flexion :
M x = D
∂
2
v
∂x 2 + n
∂
2
v
∂ y 2
M y = D
∂
2
v
∂ y 2 + n
∂
2
v
∂x 2
M xy = M yx = D(1 − n)
∂
2
v
∂x∂ y
Efforts tranchants :
V x =
∂ M x
∂x
+
∂ M xy
∂ y
V y =
∂ M y
∂ y
+
∂ M xy
∂x
➤ Contraintes
Contraintes normales :
s x (z) =
12M x
e 3 z
s y (z) =
12M y
e 3 z