Comparaisons cherchant à montrer une diff érence (en général un bénéfi ce)
89
L’idée d’analyser des variances pour comparer des moyennes repose sur
le fait, démontrable mathématiquement, que lorsque plusieurs moyennes
ne sont pas différentes entre elles (hypothèse nulle), la variance totale
(S
2
T
) de l’échantillon doit être égale à la variance résiduelle (S
2
R
). Dans
tous les autres cas, (S
2
T
) diffère de (S
2
R
) en lui étant supérieure.
Dans l’hypothèse nulle, et dans cette seule hypothèse, la variance totale
étant égale à la valeur résiduelle, le rapport
2
2
T
R
2
R
est nul.
s
s
F
s
Dans tous les autres cas, s
2
T
est supérieur à s
2
R.
. Une fois calculée la
valeur de F, comme pour le χ
2 ou le test t, une table de F donne, en
fonction du nombre de degrés de liberté, les seuils au-dessus desquels
cette valeur est statistiquement différente de 0, c’est-à-dire que les
différences observées sont statistiquement significatives.
Supposons que l’on veuille comparer dans trois groupes de patients A,
B, et C d’effectifs n a n b et n c (N étant le nombre total d’observations),
les moyennes m a m b et m c , les variances s
2
a
, s
2
b
, et s
2
c
, pour savoir si elles
sont statistiquement différentes ou non. Supposons encore que, pour
chaque patient, les valeurs mesurées soient pour le groupe A, x a1 , x a2 ,
x a3 , etc., pour le groupe B, x b1 , x b2 , x b3 , etc. et pour le groupe C x c1 , x c2 ,
x c3 , , etc.
L’objectif est de calculer une valeur F et de voir, en se reportant à une
table, si cette valeur estimée permet ou non de rejeter l’hypothèse
nulle. Pour cela, il faut calculer la variance totale et la variance résiduelle (tableau XI).
Tableau XI – Calcul de la valeur du test F dans une analyse
de variance (ANOVA).
La variance totale (S² T ) est estimée par la formule :
2
2
2
2
i ai
a
i bi
b
i ci
c
T
(x
)
(x
)
(x
)
S
1
m
m
m
N
6
6
6
La variance résiduelle est estimée par la formule :
2
2
2
a
a ,
b
b ,
c
c ,
2
R
a
b
c
(
1)
(
1)
(
1)
S
(
1) (
1) (
1)
n
s
n
s
n
s
n
n
n
et la valeur de F est égale à :
2
2
T
R
2
R
s
s
F
s
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L’idée d’analyser des variances pour comparer des moyennes repose sur
le fait, démontrable mathématiquement, que lorsque plusieurs moyennes
ne sont pas différentes entre elles (hypothèse nulle), la variance totale
(S
2
T
) de l’échantillon doit être égale à la variance résiduelle (S
2
R
). Dans
tous les autres cas, (S
2
T
) diffère de (S
2
R
) en lui étant supérieure.
Dans l’hypothèse nulle, et dans cette seule hypothèse, la variance totale
étant égale à la valeur résiduelle, le rapport
2
2
T
R
2
R
est nul.
s
s
F
s
Dans tous les autres cas, s
2
T
est supérieur à s
2
R.
. Une fois calculée la
valeur de F, comme pour le χ
2 ou le test t, une table de F donne, en
fonction du nombre de degrés de liberté, les seuils au-dessus desquels
cette valeur est statistiquement différente de 0, c’est-à-dire que les
différences observées sont statistiquement significatives.
Supposons que l’on veuille comparer dans trois groupes de patients A,
B, et C d’effectifs n a n b et n c (N étant le nombre total d’observations),
les moyennes m a m b et m c , les variances s
2
a
, s
2
b
, et s
2
c
, pour savoir si elles
sont statistiquement différentes ou non. Supposons encore que, pour
chaque patient, les valeurs mesurées soient pour le groupe A, x a1 , x a2 ,
x a3 , etc., pour le groupe B, x b1 , x b2 , x b3 , etc. et pour le groupe C x c1 , x c2 ,
x c3 , , etc.
L’objectif est de calculer une valeur F et de voir, en se reportant à une
table, si cette valeur estimée permet ou non de rejeter l’hypothèse
nulle. Pour cela, il faut calculer la variance totale et la variance résiduelle (tableau XI).
Tableau XI – Calcul de la valeur du test F dans une analyse
de variance (ANOVA).
La variance totale (S² T ) est estimée par la formule :
2
2
2
2
i ai
a
i bi
b
i ci
c
T
(x
)
(x
)
(x
)
S
1
m
m
m
N
6
6
6
La variance résiduelle est estimée par la formule :
2
2
2
a
a ,
b
b ,
c
c ,
2
R
a
b
c
(
1)
(
1)
(
1)
S
(
1) (
1) (
1)
n
s
n
s
n
s
n
n
n
et la valeur de F est égale à :
2
2
T
R
2
R
s
s
F
s