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Statistique appliquée aux sciences de la vie
3.1 Distribution d’un estimateur
Voici à présent le moment clé de ce texte d’introduction à la statistique.
L’estimateur
θ d’un paramètre θ se calcule en pratique dans un seul échantillon.
On aura donc une seule valeur de
θ. Cependant, si on répétait l’expérience, c’està-dire si on tirait d’autres échantillons de la même population, on pourrait
calculer cet estimateur
θ dans chacun de ces échantillons et on obtiendrait
d’autres valeurs de
θ qui seraient différentes les unes des autres. Autrement dit,
l’estimateur
θ varierait d’un échantillon à l’autre. Avec un peu d’imagination, on
peut ainsi considérer un estimateur
θ comme étant une variable. Ceci constitue
le « paradigme de la statistique ».
Paradigme statistique : un estimateur
θ est vu comme une variable.
Cette variable
θ est définie sur une « population d’échantillons » (de même taille
que l’échantillon original et obtenus en utilisant la même technique d’échantillonnage). On pourra ainsi parler de la distribution d’un estimateur. Afin
de résumer cette distribution, on appliquera les techniques de statistique descriptive vues au chapitre précédent et on pourra ainsi définir la moyenne, la
variance ou l’écart type de
θ. On utilise les notations suivantes :
• E(
θ) dénote la moyenne de
θ, que l’on appellera aussi son espérance (en
anglais : expectation)
• SE(
θ) dénote l’écart type de
θ, que l’on appellera aussi son erreur type
(en anglais : standard error)
• Var(
θ) dénote la variance de
θ.
Alors que les variables discutées dans le chapitre précédent (telle la hauteur
d’un Onobrychis) peuvent s’observer sur plusieurs individus d’une population,
une « variable estimateur »
θ a ceci de particulier qu’elle ne s’observera qu’une
seule fois (vu que l’on ne disposera en général que d’un seul échantillon de
cette population d’échantillons). Dans ces conditions, on aura recours à des
arguments théoriques (mathématiques, calcul des probabilités) ou à des simulations pour connaître sa distribution.
3.2 Variable aléatoire
Les probabilistes appellent ces variables qui ne s’observent (ou se réalisent)
qu’une seule fois des variables aléatoires. Un estimateur est donc une variable
aléatoire. Plus généralement, toute quantité calculable sur un échantillon peut
Statistique appliquée aux sciences de la vie
3.1 Distribution d’un estimateur
Voici à présent le moment clé de ce texte d’introduction à la statistique.
L’estimateur
θ d’un paramètre θ se calcule en pratique dans un seul échantillon.
On aura donc une seule valeur de
θ. Cependant, si on répétait l’expérience, c’està-dire si on tirait d’autres échantillons de la même population, on pourrait
calculer cet estimateur
θ dans chacun de ces échantillons et on obtiendrait
d’autres valeurs de
θ qui seraient différentes les unes des autres. Autrement dit,
l’estimateur
θ varierait d’un échantillon à l’autre. Avec un peu d’imagination, on
peut ainsi considérer un estimateur
θ comme étant une variable. Ceci constitue
le « paradigme de la statistique ».
Paradigme statistique : un estimateur
θ est vu comme une variable.
Cette variable
θ est définie sur une « population d’échantillons » (de même taille
que l’échantillon original et obtenus en utilisant la même technique d’échantillonnage). On pourra ainsi parler de la distribution d’un estimateur. Afin
de résumer cette distribution, on appliquera les techniques de statistique descriptive vues au chapitre précédent et on pourra ainsi définir la moyenne, la
variance ou l’écart type de
θ. On utilise les notations suivantes :
• E(
θ) dénote la moyenne de
θ, que l’on appellera aussi son espérance (en
anglais : expectation)
• SE(
θ) dénote l’écart type de
θ, que l’on appellera aussi son erreur type
(en anglais : standard error)
• Var(
θ) dénote la variance de
θ.
Alors que les variables discutées dans le chapitre précédent (telle la hauteur
d’un Onobrychis) peuvent s’observer sur plusieurs individus d’une population,
une « variable estimateur »
θ a ceci de particulier qu’elle ne s’observera qu’une
seule fois (vu que l’on ne disposera en général que d’un seul échantillon de
cette population d’échantillons). Dans ces conditions, on aura recours à des
arguments théoriques (mathématiques, calcul des probabilités) ou à des simulations pour connaître sa distribution.
3.2 Variable aléatoire
Les probabilistes appellent ces variables qui ne s’observent (ou se réalisent)
qu’une seule fois des variables aléatoires. Un estimateur est donc une variable
aléatoire. Plus généralement, toute quantité calculable sur un échantillon peut