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Statistique appliquée aux sciences de la vie
• aplatissement :
kurtosis(Y ) =
mean((Y − mean(Y ))
4 )
stdev 4 (Y )
− 3.
Le numérateur de skewness(Y ) est la moyenne des déviations au cube par
rapport à la moyenne. Dans le cas d’une distribution asymétrique vers la droite,
les larges déviations positives seront amplifiées par le cube et la mesure d’asymétrie sera positive. Dans le cas d’une distribution asymétrique vers la gauche,
les larges déviations négatives seront amplifiées par le cube et la mesure d’asymétrie sera négative. Dans le cas d’une distribution symétrique, par exemple
pour une distribution normale, les déviations positives compenseront les déviations négatives et la mesure d’asymétrie sera nulle. La division par le cube de
l’écart type au dénominateur implique par ailleurs :
skewness(a + bY ) = signe(b) · skewness(Y )
autrement dit que cette mesure d’asymétrie est invariante (au signe près)
lorsque l’on change d’unités.
Le numérateur du premier terme de kurtosis(Y ) est la moyenne des déviations à la puissance quatre par rapport à la moyenne. Cette mesure d’aplatissement sera donc grandement positive en présence de valeurs extrêmes, qui
ont par définition de larges déviations positives ou négatives par rapport à
la moyenne, et qui seront amplifiées par la puissance quatre. La division par
l’écart type à la puissance quatre au dénominateur implique par ailleurs :
kurtosis(a + bY ) = kurtosis(Y )
autrement dit que cette mesure d’aplatissement est invariante lorsque l’on
change d’unités. En outre, cette mesure d’aplatissement sera nulle pour une
distribution normale grâce à la soustraction au premier terme de la valeur
3. Ainsi, une distribution avec un aplatissement positif aura plus de valeurs
extrêmes qu’une distribution normale, alors qu’une distribution avec un aplatissement négatif aura moins de valeurs extrêmes qu’une distribution normale.
Si Y est normale, on aura skewness(Y ) = 0 et kurtosis(Y ) = 0.
Précisons toutefois qu’une distribution normale est un concept théorique.
Dans la réalité, on n’observera jamais de variable exactement normale. En pratique, il s’agira donc de vérifier qu’une variable est approximativement normale,
non pas qu’elle est exactement normale. De façon pragmatique, on pourra décider qu’une variable est approximativement normale si les mesures d’asymétrie
et d’aplatisement sont comprises entre −0.5 et +0.5. Dans le cas contraire,
Statistique appliquée aux sciences de la vie
• aplatissement :
kurtosis(Y ) =
mean((Y − mean(Y ))
4 )
stdev 4 (Y )
− 3.
Le numérateur de skewness(Y ) est la moyenne des déviations au cube par
rapport à la moyenne. Dans le cas d’une distribution asymétrique vers la droite,
les larges déviations positives seront amplifiées par le cube et la mesure d’asymétrie sera positive. Dans le cas d’une distribution asymétrique vers la gauche,
les larges déviations négatives seront amplifiées par le cube et la mesure d’asymétrie sera négative. Dans le cas d’une distribution symétrique, par exemple
pour une distribution normale, les déviations positives compenseront les déviations négatives et la mesure d’asymétrie sera nulle. La division par le cube de
l’écart type au dénominateur implique par ailleurs :
skewness(a + bY ) = signe(b) · skewness(Y )
autrement dit que cette mesure d’asymétrie est invariante (au signe près)
lorsque l’on change d’unités.
Le numérateur du premier terme de kurtosis(Y ) est la moyenne des déviations à la puissance quatre par rapport à la moyenne. Cette mesure d’aplatissement sera donc grandement positive en présence de valeurs extrêmes, qui
ont par définition de larges déviations positives ou négatives par rapport à
la moyenne, et qui seront amplifiées par la puissance quatre. La division par
l’écart type à la puissance quatre au dénominateur implique par ailleurs :
kurtosis(a + bY ) = kurtosis(Y )
autrement dit que cette mesure d’aplatissement est invariante lorsque l’on
change d’unités. En outre, cette mesure d’aplatissement sera nulle pour une
distribution normale grâce à la soustraction au premier terme de la valeur
3. Ainsi, une distribution avec un aplatissement positif aura plus de valeurs
extrêmes qu’une distribution normale, alors qu’une distribution avec un aplatissement négatif aura moins de valeurs extrêmes qu’une distribution normale.
Si Y est normale, on aura skewness(Y ) = 0 et kurtosis(Y ) = 0.
Précisons toutefois qu’une distribution normale est un concept théorique.
Dans la réalité, on n’observera jamais de variable exactement normale. En pratique, il s’agira donc de vérifier qu’une variable est approximativement normale,
non pas qu’elle est exactement normale. De façon pragmatique, on pourra décider qu’une variable est approximativement normale si les mesures d’asymétrie
et d’aplatisement sont comprises entre −0.5 et +0.5. Dans le cas contraire,