2. Distribution d’une variable
29
On terminera cette section par insister sur le fait que les concepts de
moyenne et d’écart type (ou de variance) sont surtout utilisés dans le cadre
d’une distribution normale. Pour d’autres distributions continues, on préférera
souvent la médiane à la moyenne, et parfois l’intervalle interquartile à l’écart
type (dont l’interprétation hors de la normalité est plus obscure).
2.10 Variable standardisée et qq-plot
Lorsque l’on standardise une variable, en lui soustrayant d’abord sa moyenne
(c’est-à-dire en la centrant) puis en la divisant par son écart type, les unités
que l’on obtient sont des nombres d’écarts types par rapport à la moyenne (en
anglais : z-scores ou standard deviation scores). Il s’agit de l’unité du
statisticien. Son interprétation est facilitée si on peut supposer la normalité car
la notion d’écart type est bien connue dans un cadre normal.
Exemple 2.8 Pour les Onobrychis, les observations standardisées z i = (y i −
21.7)/3.8 sont données ci-dessous (par ordre croissant) :
−2.03
−2.03
−1.50
−1.24
−1.24
−0.97
−0.97
−0.97
−0.97
−0.97
−0.97
−0.97
−0.71
−0.71
−0.71
−0.71
−0.71
−0.71
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.18
−0.18
−0.18
−0.18
−0.18
−0.18
0.08
0.08
0.08
0.08
0.08
0.08
0.08
0.34
0.34
0.34
0.34
0.34
0.34
0.61
0.61
0.87
0.87
1.13
1.13
1.13
1.39
1.66
1.66
1.66
1.92
1.92
1.92
2.71
Ces valeurs ne correspondent plus à des centimètres, mais à des écarts types
au-dessous ou au-dessus de la moyenne. Le plus petit Onobrychis se trouve par
exemple à 2.03 écarts types au-dessous de la moyenne, alors que le plus grand
d’entre eux se trouve à 2.71 écarts types au-dessus de la moyenne. À première
vue, cette nouvelle unité peut paraître moins « parlante » que l’unité originale. Pourtant, pour un non-spécialiste des Onobrychis, une valeur de 32 cm
ne suggérera pas forcément grand chose, alors qu’une valeur de 2.71 écarts types
au-dessus de la moyenne, pour autant que l’on puisse supposer la normalité,
sera parlante pour un statisticien. Des résultats standardisés de la sorte faciliteront également certaines comparaisons. Il ne serait par exemple pas évident
de juger si un Onobrychis mesurant 30 cm après six mois est plus ou moins
extrême qu’un Onobrychis mesurant 60 cm après douze mois ; le jugement deviendra plus facile si les mesures sont exprimées en nombres d’écarts types par
rapport à la moyenne.
Les observations standardisées peuvent être utilisées dans un qq-plot (ou
quantile-quantile plot, connue en français sous le nom de droite de Henry),
une technique graphique pour vérifier la normalité. Par exemple, n = 10 observations standardisées d’une variable normale devraient à peu près coïncider
avec les quantiles :
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On terminera cette section par insister sur le fait que les concepts de
moyenne et d’écart type (ou de variance) sont surtout utilisés dans le cadre
d’une distribution normale. Pour d’autres distributions continues, on préférera
souvent la médiane à la moyenne, et parfois l’intervalle interquartile à l’écart
type (dont l’interprétation hors de la normalité est plus obscure).
2.10 Variable standardisée et qq-plot
Lorsque l’on standardise une variable, en lui soustrayant d’abord sa moyenne
(c’est-à-dire en la centrant) puis en la divisant par son écart type, les unités
que l’on obtient sont des nombres d’écarts types par rapport à la moyenne (en
anglais : z-scores ou standard deviation scores). Il s’agit de l’unité du
statisticien. Son interprétation est facilitée si on peut supposer la normalité car
la notion d’écart type est bien connue dans un cadre normal.
Exemple 2.8 Pour les Onobrychis, les observations standardisées z i = (y i −
21.7)/3.8 sont données ci-dessous (par ordre croissant) :
−2.03
−2.03
−1.50
−1.24
−1.24
−0.97
−0.97
−0.97
−0.97
−0.97
−0.97
−0.97
−0.71
−0.71
−0.71
−0.71
−0.71
−0.71
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.45
−0.18
−0.18
−0.18
−0.18
−0.18
−0.18
0.08
0.08
0.08
0.08
0.08
0.08
0.08
0.34
0.34
0.34
0.34
0.34
0.34
0.61
0.61
0.87
0.87
1.13
1.13
1.13
1.39
1.66
1.66
1.66
1.92
1.92
1.92
2.71
Ces valeurs ne correspondent plus à des centimètres, mais à des écarts types
au-dessous ou au-dessus de la moyenne. Le plus petit Onobrychis se trouve par
exemple à 2.03 écarts types au-dessous de la moyenne, alors que le plus grand
d’entre eux se trouve à 2.71 écarts types au-dessus de la moyenne. À première
vue, cette nouvelle unité peut paraître moins « parlante » que l’unité originale. Pourtant, pour un non-spécialiste des Onobrychis, une valeur de 32 cm
ne suggérera pas forcément grand chose, alors qu’une valeur de 2.71 écarts types
au-dessus de la moyenne, pour autant que l’on puisse supposer la normalité,
sera parlante pour un statisticien. Des résultats standardisés de la sorte faciliteront également certaines comparaisons. Il ne serait par exemple pas évident
de juger si un Onobrychis mesurant 30 cm après six mois est plus ou moins
extrême qu’un Onobrychis mesurant 60 cm après douze mois ; le jugement deviendra plus facile si les mesures sont exprimées en nombres d’écarts types par
rapport à la moyenne.
Les observations standardisées peuvent être utilisées dans un qq-plot (ou
quantile-quantile plot, connue en français sous le nom de droite de Henry),
une technique graphique pour vérifier la normalité. Par exemple, n = 10 observations standardisées d’une variable normale devraient à peu près coïncider
avec les quantiles :