2. Distribution d’une variable
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→ on utilisera parfois la notation ¯
y =
1
n
i y i
→ la moyenne est plus fine (admet davantage de valeurs possibles) que
la médiane
→ la moyenne est le centre de gravité des observations :
i
(y i − ¯
y) =
y i − n¯ y
= n¯ y − n¯ y
= 0
→ la moyenne n’est pas toujours représentative de l’ensemble des observations (par exemple dans le cas d’une distribution asymétrique)
→ la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes
• la médiane :
median(Y ) =
y ((n+1)/2)
si n impair
1
2 (y (n/2) + y (n/2+1) )
si n pair
→ pour calculer la médiane, il s’agit au préalable d’ordonner les observations (y (i) dénotant la i-ième observation ordonnée)
→ la médiane se trouve au milieu des données, dans le sens où 50 % des
observations sont plus grandes et 50 % plus petites que la médiane
→ la médiane est donc toujours représentative de l’ensemble des observations (même si la distribution est asymétrique)
→ la médiane est « robuste » aux valeurs extrêmes
→ la médiane peut se calculer aussi pour les variables ordinales.
Exemple 2.3 Pour l’exemple des Onobrychis, moyenne et médiane sont semblables : on a en effet mean(Y ) = 21.7 cm et median(Y ) = 21 cm. Si on avait
toutefois remplacé par erreur la valeur 32 cm par la valeur 3200 cm, on aurait
trouvé mean(Y ) = 74.5 cm et median(Y ) = 21 cm. La valeur de la moyenne
est ainsi très affectée par la présence d’une seule valeur extrême ou aberrante,
au contraire de la médiane. En ce sens, la médiane est dite « robuste » aux
valeurs extrêmes ou aberrantes.
La similarité entre la moyenne et la médiane est un indicateur de la symétrie d’une distribution, la moyenne étant plus élevée que la médiane pour
une distribution asymétrique vers la droite, la médiane étant plus élevée que la
moyenne pour une distribution asymétrique vers la gauche.
La question de l’utilisation de la moyenne ou de la médiane comme mesure
de tendance centrale est un vieux débat. Pour les variables quantitatives discrètes avec peu de valeurs possibles, la moyenne aura l’avantage d’être plus fine
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→ on utilisera parfois la notation ¯
y =
1
n
i y i
→ la moyenne est plus fine (admet davantage de valeurs possibles) que
la médiane
→ la moyenne est le centre de gravité des observations :
i
(y i − ¯
y) =
y i − n¯ y
= n¯ y − n¯ y
= 0
→ la moyenne n’est pas toujours représentative de l’ensemble des observations (par exemple dans le cas d’une distribution asymétrique)
→ la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes
• la médiane :
median(Y ) =
y ((n+1)/2)
si n impair
1
2 (y (n/2) + y (n/2+1) )
si n pair
→ pour calculer la médiane, il s’agit au préalable d’ordonner les observations (y (i) dénotant la i-ième observation ordonnée)
→ la médiane se trouve au milieu des données, dans le sens où 50 % des
observations sont plus grandes et 50 % plus petites que la médiane
→ la médiane est donc toujours représentative de l’ensemble des observations (même si la distribution est asymétrique)
→ la médiane est « robuste » aux valeurs extrêmes
→ la médiane peut se calculer aussi pour les variables ordinales.
Exemple 2.3 Pour l’exemple des Onobrychis, moyenne et médiane sont semblables : on a en effet mean(Y ) = 21.7 cm et median(Y ) = 21 cm. Si on avait
toutefois remplacé par erreur la valeur 32 cm par la valeur 3200 cm, on aurait
trouvé mean(Y ) = 74.5 cm et median(Y ) = 21 cm. La valeur de la moyenne
est ainsi très affectée par la présence d’une seule valeur extrême ou aberrante,
au contraire de la médiane. En ce sens, la médiane est dite « robuste » aux
valeurs extrêmes ou aberrantes.
La similarité entre la moyenne et la médiane est un indicateur de la symétrie d’une distribution, la moyenne étant plus élevée que la médiane pour
une distribution asymétrique vers la droite, la médiane étant plus élevée que la
moyenne pour une distribution asymétrique vers la gauche.
La question de l’utilisation de la moyenne ou de la médiane comme mesure
de tendance centrale est un vieux débat. Pour les variables quantitatives discrètes avec peu de valeurs possibles, la moyenne aura l’avantage d’être plus fine