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Statistique appliquée aux sciences de la vie
donné par (en utilisant t 0.975,78 = 1.99) :
2.25 ± 1.99 · 0.70 = [0.86; 3.64] kg .
On a donc prouvé statistiquement que le médicament permet de perdre en
moyenne au moins 0.86 kg de plus qu’un placebo après trois mois de régime. Ce
résultat peut également s’obtenir en considérant un modèle de régression avec
X 1 comme prédicteur et Y comme variable réponse. On obtient ainsi :
y
∗ = 2.47 + 2.25x 1
avec la même inférence que ci-dessus en ce qui concerne la pente de cette droite
de régression, interprétable comme l’effet causal du médicament.
Un autre prédicteur potentiel de Y est le poids des patients au début du
régime, que nous noterons par X 2 . Les patients avec un poids initial élevé sont
en effet susceptibles de perdre plus de poids que les patients avec un poids initial bas. Dans cet exemple fictif, nos deux groupes ont en moyenne (presque)
le même poids initial (105.36 versus 105.38 kg). En introduisant X 2 dans le
modèle, on ne change donc quasiment pas la pente de X 1 . On obtient en effet :
y
∗ = −47.67 + 2.25x 1 + 0.48x 2 .
Par contre, l’erreur type de l’estimateur de cette pente est à présent de 0.58
(alors qu’elle était de 0.70 dans le premier modèle). La statistique de test d’un
test de Student sur la nullité de cette pente est donnée par t stat = 2.25/0.58 =
3.88, la valeur p étant plus petite que dans le premier modèle (p = 0.0002).
Un intervalle de confiance au niveau 95 % pour le véritable effet causal du
médicament est par ailleurs donné par (en utilisant t 0.975,77 = 1.99) :
2.25 ± 1.99 · 0.58 = [1.10; 3.40] kg .
L’intervalle de confiance calculé avec ce second modèle est donc plus étroit
que celui calculé avec le premier modèle, l’estimation de l’effet causal étant
plus précise. En particulier, on a ici réussi à prouver statistiquement que le
médicament permet de perdre en moyenne au moins 1.10 kg (et pas seulement
0.86 kg) de plus qu’un placebo après trois mois de régime.
La figure 15.3 illustre les résultats de ces deux modèles. Ces diagrammes de
dispersion nous montrent la relation entre le poids initial et la perte de poids,
les individus du groupe médicament étant représentés par des triangles, ceux du
groupe placebo par des cercles. Les résultats du premier modèle sont illustrés
dans le graphique du haut. On y voit deux droites horizontales (car l’association entre le poids initial et la perte de poids n’est pas prise en compte dans ce
modèle), l’une pour le groupe médicament (trait plein), l’autre pour le groupe
placebo (trait pointillé), qui se trouvent au niveau des moyennes calculées dans
ces deux groupes. La distance verticale entre les deux droites vaut 2.25 et représente l’estimation de l’effet causal du médicament. Les résultats du second
modèle sont illustrés dans le graphique du bas. Les deux droites ont une pente
Statistique appliquée aux sciences de la vie
donné par (en utilisant t 0.975,78 = 1.99) :
2.25 ± 1.99 · 0.70 = [0.86; 3.64] kg .
On a donc prouvé statistiquement que le médicament permet de perdre en
moyenne au moins 0.86 kg de plus qu’un placebo après trois mois de régime. Ce
résultat peut également s’obtenir en considérant un modèle de régression avec
X 1 comme prédicteur et Y comme variable réponse. On obtient ainsi :
y
∗ = 2.47 + 2.25x 1
avec la même inférence que ci-dessus en ce qui concerne la pente de cette droite
de régression, interprétable comme l’effet causal du médicament.
Un autre prédicteur potentiel de Y est le poids des patients au début du
régime, que nous noterons par X 2 . Les patients avec un poids initial élevé sont
en effet susceptibles de perdre plus de poids que les patients avec un poids initial bas. Dans cet exemple fictif, nos deux groupes ont en moyenne (presque)
le même poids initial (105.36 versus 105.38 kg). En introduisant X 2 dans le
modèle, on ne change donc quasiment pas la pente de X 1 . On obtient en effet :
y
∗ = −47.67 + 2.25x 1 + 0.48x 2 .
Par contre, l’erreur type de l’estimateur de cette pente est à présent de 0.58
(alors qu’elle était de 0.70 dans le premier modèle). La statistique de test d’un
test de Student sur la nullité de cette pente est donnée par t stat = 2.25/0.58 =
3.88, la valeur p étant plus petite que dans le premier modèle (p = 0.0002).
Un intervalle de confiance au niveau 95 % pour le véritable effet causal du
médicament est par ailleurs donné par (en utilisant t 0.975,77 = 1.99) :
2.25 ± 1.99 · 0.58 = [1.10; 3.40] kg .
L’intervalle de confiance calculé avec ce second modèle est donc plus étroit
que celui calculé avec le premier modèle, l’estimation de l’effet causal étant
plus précise. En particulier, on a ici réussi à prouver statistiquement que le
médicament permet de perdre en moyenne au moins 1.10 kg (et pas seulement
0.86 kg) de plus qu’un placebo après trois mois de régime.
La figure 15.3 illustre les résultats de ces deux modèles. Ces diagrammes de
dispersion nous montrent la relation entre le poids initial et la perte de poids,
les individus du groupe médicament étant représentés par des triangles, ceux du
groupe placebo par des cercles. Les résultats du premier modèle sont illustrés
dans le graphique du haut. On y voit deux droites horizontales (car l’association entre le poids initial et la perte de poids n’est pas prise en compte dans ce
modèle), l’une pour le groupe médicament (trait plein), l’autre pour le groupe
placebo (trait pointillé), qui se trouvent au niveau des moyennes calculées dans
ces deux groupes. La distance verticale entre les deux droites vaut 2.25 et représente l’estimation de l’effet causal du médicament. Les résultats du second
modèle sont illustrés dans le graphique du bas. Les deux droites ont une pente