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Statistique appliquée aux sciences de la vie
Considérons l’exemple où X représente la taille du père et Y la taille du fils. Une
même distribution pour X et Y indique ici une stabilité de l’espèce humaine
(en ce qui concerne la taille). Une corrélation positive indique que les fils des
pères grands en taille seront en moyenne plus grands que les fils des pères petits
en taille. Par contre, le résultat ci-dessus nous dit la chose suivante :
• les pères grands en taille auront en moyenne des fils plus petits qu’euxmêmes
• les pères petits en taille auront en moyenne des fils plus grands qu’euxmêmes.
Les pères grands en taille auront des fils plus petits qu’eux-mêmes
(bien que plus grands que les fils des pères petits en taille).
Ce phénomène appelé régression vers la moyenne est nécessaire à la stabilité
d’une espèce : si les pères grands en taille avaient en moyenne des fils plus
grands qu’eux-mêmes, et si les pères petits en taille avaient en moyenne des
fils plus petits qu’eux-mêmes, on évoluerait vers une population constituée en
majorité de géants et de nains
15 .
Exemple 13.10 La figure 13.9 nous montre un exemple de données simulées
de la relation entre X la taille du père et Y la taille du fils pour n = 500
couples pères-fils, où la distribution de (X, Y ) est binormale avec paramètres
μ X = μ Y = 175 cm, σ X = σ Y = 7 cm et ρ = 0.5
16 . On observe dans cet
exemple des moyennes de
μ X = 175.3 cm et
μ Y = 175.2 cm, des écarts types
de ˜
σ X = 7.3 cm et ˜
σ X = 7.0 cm, ainsi qu’une corrélation de
ρ = 0.50. La droite
de régression est donnée par :
y
∗ = 91.5 + 0.48x.
On estime ainsi que les fils des pères mesurant x = 180 cm mesureront (en
moyenne) :
91.5 + 0.48 · 180 = 177.9 cm
et seront donc (en moyenne) plus petits que leurs pères. Par contre, on estime
que les fils des pères mesurant x = 170 cm mesureront (en moyenne) :
91.5 + 0.48 · 170 = 173.1 cm
et seront donc plus grands que leurs pères.
15 Ce phénomène de régression vers la moyenne, qui est donc à l’origine du terme de régression utilisé en statistique, a été observé vers la fin du XIX e siècle par Francis Galton (cousin
de Charles Darwin) lors d’une étude sur l’hérédité chez les petits pois.
16 Pour simuler ces données, on a utilisé la fonction mvrnorm de la librairie MASS de R de la
façon suivante : mvrnorm(500,c(175,175),cbind(c(7*7,7*7*0.5),c(7*7*0.5,7*7))).
Statistique appliquée aux sciences de la vie
Considérons l’exemple où X représente la taille du père et Y la taille du fils. Une
même distribution pour X et Y indique ici une stabilité de l’espèce humaine
(en ce qui concerne la taille). Une corrélation positive indique que les fils des
pères grands en taille seront en moyenne plus grands que les fils des pères petits
en taille. Par contre, le résultat ci-dessus nous dit la chose suivante :
• les pères grands en taille auront en moyenne des fils plus petits qu’euxmêmes
• les pères petits en taille auront en moyenne des fils plus grands qu’euxmêmes.
Les pères grands en taille auront des fils plus petits qu’eux-mêmes
(bien que plus grands que les fils des pères petits en taille).
Ce phénomène appelé régression vers la moyenne est nécessaire à la stabilité
d’une espèce : si les pères grands en taille avaient en moyenne des fils plus
grands qu’eux-mêmes, et si les pères petits en taille avaient en moyenne des
fils plus petits qu’eux-mêmes, on évoluerait vers une population constituée en
majorité de géants et de nains
15 .
Exemple 13.10 La figure 13.9 nous montre un exemple de données simulées
de la relation entre X la taille du père et Y la taille du fils pour n = 500
couples pères-fils, où la distribution de (X, Y ) est binormale avec paramètres
μ X = μ Y = 175 cm, σ X = σ Y = 7 cm et ρ = 0.5
16 . On observe dans cet
exemple des moyennes de
μ X = 175.3 cm et
μ Y = 175.2 cm, des écarts types
de ˜
σ X = 7.3 cm et ˜
σ X = 7.0 cm, ainsi qu’une corrélation de
ρ = 0.50. La droite
de régression est donnée par :
y
∗ = 91.5 + 0.48x.
On estime ainsi que les fils des pères mesurant x = 180 cm mesureront (en
moyenne) :
91.5 + 0.48 · 180 = 177.9 cm
et seront donc (en moyenne) plus petits que leurs pères. Par contre, on estime
que les fils des pères mesurant x = 170 cm mesureront (en moyenne) :
91.5 + 0.48 · 170 = 173.1 cm
et seront donc plus grands que leurs pères.
15 Ce phénomène de régression vers la moyenne, qui est donc à l’origine du terme de régression utilisé en statistique, a été observé vers la fin du XIX e siècle par Francis Galton (cousin
de Charles Darwin) lors d’une étude sur l’hérédité chez les petits pois.
16 Pour simuler ces données, on a utilisé la fonction mvrnorm de la librairie MASS de R de la
façon suivante : mvrnorm(500,c(175,175),cbind(c(7*7,7*7*0.5),c(7*7*0.5,7*7))).