12. Analyse de corrélation
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La corrélation possède par ailleurs les propriétés mathématiques suivantes :
• correlation(X, Y ) = correlation(Y, X)
→ concept symétrique (propriété héritée de la covariance)
• correlation(X, X) =
covariance(X,X)
variance(X)
= 1
→ valeur maximale atteinte lorsque X = Y (logique : une variable ne
peut pas être plus en relation avec une autre variable qu’avec elle-même)
• correlation(X, a) =
covariance(X,a)
√
variance(X)·variance(a)
=
0
0
→ la corrélation entre une variable et une constante n’est pas définie
• correlation(X, a + bY ) = signe(b) · correlation(X, Y )
→ la corrélation est invariante (au signe près) lorsque l’on change d’unités
→ la corrélation sera identique que l’on prenne nos mesures en mètres ou
en centimètres, par exemple
• correlation(X, a + bX) = signe(b) · correlation(X, X) = ±1
→ les valeurs minimale et maximale d’une corrélation de −1 et +1 sont
atteintes lorsque l’on a Y = a+bX, c’est-à-dire lorsque l’on a une relation
exacte linéaire entre les variables.
On verra par ailleurs plus en détail dans le chapitre suivant que l’on peut
interpréter le carré d’une corrélation comme le pourcentage de la variance de
l’une des variables que l’on peut prédire linéairement par l’autre. En attendant,
on dira qu’une corrélation mesure « le degré d’exactitude de la relation entre
les variables », ou « à quel point la relation est proche d’une relation exacte
linéaire », ou encore « l’intensité de la relation ».
Le signe de la corrélation indique la direction de la relation ;
la valeur de la corrélation est une mesure de l’intensité de la relation.
La figure 12.4 contient neuf exemples de corrélation. Les graphiques (a) et
(b) nous montrent des relations exactes linéaires (respectivement positive et négative) pour laquelle la corrélation atteint ses valeurs maximales et minimales
de +1 et −1. Pour une relation exacte positive monotone mais non linéaire, la
corrélation sera positive mais plus petite que 1, comme le montre le graphique
(f) où l’on voit une relation exacte logarithmique entre les variables, correspondant à une corrélation de 0.94. Rappelons toutefois qu’une relation exacte
entre variables ne sera jamais observée en pratique (sauf dans des cas triviaux).
Par contre, une relation pourra être plus ou moins proche d’une relation exacte
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La corrélation possède par ailleurs les propriétés mathématiques suivantes :
• correlation(X, Y ) = correlation(Y, X)
→ concept symétrique (propriété héritée de la covariance)
• correlation(X, X) =
covariance(X,X)
variance(X)
= 1
→ valeur maximale atteinte lorsque X = Y (logique : une variable ne
peut pas être plus en relation avec une autre variable qu’avec elle-même)
• correlation(X, a) =
covariance(X,a)
√
variance(X)·variance(a)
=
0
0
→ la corrélation entre une variable et une constante n’est pas définie
• correlation(X, a + bY ) = signe(b) · correlation(X, Y )
→ la corrélation est invariante (au signe près) lorsque l’on change d’unités
→ la corrélation sera identique que l’on prenne nos mesures en mètres ou
en centimètres, par exemple
• correlation(X, a + bX) = signe(b) · correlation(X, X) = ±1
→ les valeurs minimale et maximale d’une corrélation de −1 et +1 sont
atteintes lorsque l’on a Y = a+bX, c’est-à-dire lorsque l’on a une relation
exacte linéaire entre les variables.
On verra par ailleurs plus en détail dans le chapitre suivant que l’on peut
interpréter le carré d’une corrélation comme le pourcentage de la variance de
l’une des variables que l’on peut prédire linéairement par l’autre. En attendant,
on dira qu’une corrélation mesure « le degré d’exactitude de la relation entre
les variables », ou « à quel point la relation est proche d’une relation exacte
linéaire », ou encore « l’intensité de la relation ».
Le signe de la corrélation indique la direction de la relation ;
la valeur de la corrélation est une mesure de l’intensité de la relation.
La figure 12.4 contient neuf exemples de corrélation. Les graphiques (a) et
(b) nous montrent des relations exactes linéaires (respectivement positive et négative) pour laquelle la corrélation atteint ses valeurs maximales et minimales
de +1 et −1. Pour une relation exacte positive monotone mais non linéaire, la
corrélation sera positive mais plus petite que 1, comme le montre le graphique
(f) où l’on voit une relation exacte logarithmique entre les variables, correspondant à une corrélation de 0.94. Rappelons toutefois qu’une relation exacte
entre variables ne sera jamais observée en pratique (sauf dans des cas triviaux).
Par contre, une relation pourra être plus ou moins proche d’une relation exacte